紧扣乘法意义 理解定律本质

运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运算的基本性质，可作为推理的依据。运算定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”，尤其是乘法结合律和乘法分配律，运用十分广泛。回顾以往的教学，学生在运用乘法结合律和乘法分配律时会出现许多问题，尤其是容易将两种运算定律混淆，造成计算过程混乱。通过分析发现，以往乘法运算律的教学大都按照“呈现情境——看图列式——比较算式——寻找规律”的学习路径不断重复，通过比较算式的异同来概括出定律的学习方式有利于学生快速认识乘法运算律“是什么”，不过对于定律“为什么”却难以解释。这种压缩式的学习，学生无法在头脑中建立乘法运算律一般性表达和乘法意义之间的联系，造成机械地记忆公式，缺少对乘法定律本质的理解，这正是学生反复出错的原因。

针对以上情况，我们尝试在教学中改变以往的教学思路，用乘法意义来统整两个运算定律，让学生体会乘法意义理解算理的一致性，明白两种运算定律的本质内涵，具体做法如下：

一、丰富资源，借助意义理解算理

学生的自主探究、意义建构是在大量信息基础上进行的，丰富的学习资源是学生主动建构的必备条件。不论是乘法结合律还是乘法分配律，在生活和数学中应用都十分广泛，这两个数学模型是对生活中大量事例概括抽象的表达，在教学中不能仅凭一个情境，一个问题就让学生发现并理解乘法运算定律，而应该将具有共同特征的材料进行整合，形成一组学习材料，以便学生进行观察、比较、分析，在不同中找相同，通过对乘法意义的理解来理解运算定律的内涵。

教学片段一：《乘法分配律》

师：今天这节课我们首先从几个熟悉的数学问题开始研究。看一看，想一想，这三个问题你自己能解决吗？每一个问题有几种解题方法？请大家在练习本上写一写。

学生独立完成后小组交流。

师：谁来说说你的想法？

生 1 ：我用了两种方法来解决第一个问题，第一种方法是先分别算出 5件上衣的钱和 5 条裤子的钱，再相加，列式为 5×88+5×62=750 （元），第二种方法是先算出一套衣服的钱，再算 5 套衣服的钱，列式为（ ）×5=750 （元）。

生2 ：我在解决第二个问题时也用了两种方法，可以把两块地的面积分开算再相加，列式为 18×8+12×8=240 （平方米），也可以把两块地拼在一起，组合成一个大长方形地，列式为：（ (18+12)×8=240 （平方米）。

生3 ：第三个问题算圆片的总数也有两种方法，一是把两种颜色分开算后再相加，另一种是合在一起算，分别列式为 2×6+5×6=42 （个）和（2+5）×6=42 （个）。

师：表面上看这三个问题各不相同，细细琢磨它们还有相同之处，你们发现了吗？

生4 ：它们解决问题的思路是一样的，都可以用两种方法来计算，一种是先分开算再相加，一种是先相加再算总和。

师：你真善于观察，这几个问题都可以用这样的两种方法来计算，真正的原因在哪里？

生5 ：第一个问题中买的衣服都是5 套，第二个问题中长方形的宽都是8 米，第三个问题中每行个数都是6 个。

师：看来，三道题都能用这两种方法计算的真正原因是有相同的因数。比如第一道题，我们可以分开算5 个88 和5 个62，也可以算5 个150。

在教学《乘法分配律》时，我将买衣服、算面积和求圆片总数的问题整合成一组学习材料，引导孩子们在“异”中求“同”。通过对三个不同问题情境的探索，深化了对两种方法的理解，更加清晰地把握“分开算”“合着算”是两种解决问题的基本策略，同时在对比讨论“为什么都可以用这两种方法进行计算”的过程中，让学生发现是因为有相同因数。正是因为有相同因数，我们才可以分开算几个几，再算几个几 + 几个几，也可以先算相同因数的个数，再算几个几，从而达成借助乘法意义来理解乘法分配律的算理。

二、多元表征，借助意义建构模型

在数学学习中，既有内隐的心理层面的知识整合与建构，也有外显的能够呈现认知过程和认知结果的多样化的数学表达，这就是数学多元表征。多元表征学习能帮助学生更好地进行深度、有意义的建构。在教学乘法运

算律时，让学生通过图示表征、言语表征等多元表征方式，加强对乘法意义的理解，从而构建乘法定律的模型。

1. 图示表征

我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”强调了数形结合的重要性。

教学片段二：《乘法结合律》

师：在计算 125×16 时，怎样算比较简便？这样算的道理是什么呢？请你在图中圈出自己的想法，并用算式表达出来。

生 1 ：我是这样想的，我把 16 分成 2 个 8，先算 8 个 125 是 1000，再算 2 个 1000 是 2000, 用算式表示为： 125×16=125×8×2 ，

生 2 ：我和他的想法不一样，我是把 16 分成 4 个 4，先算 125×4 是500，再算 4 个 500 是 2000，用算式表示为： 125×16=125×4×4 。

师：两位孩子的想法你们赞同吗？比较一下，他们的想法有哪些相同和不同的地方？

生 3 ：我认为他们的想法都是把 16 分成两个数的积，只是分成的数不一样。

生4 ：不管是分成 8×2 还是分成 4×4 ，都是想凑整，这样计算更简便。

教学乘法结合律时，通过圈图表示 125×16 的思路，学生会出现两种思路，通过分析交流，让学生理解不论是拆成 125×8×2 , 还是拆成125×4×4 ，都是把总数分成了相同的几部分，先算几个几，再算几个几，两次都在算几个几，所以两次都要算乘法。这样强调“式”“形”互通，即从“算式”想到图形，由“图形”归为算式，借助乘法意义，让学生既熟悉乘法结合律的外在形式，又理解其内在的意义。

2. 言语表征

通过语言表征，也可以促进孩子对乘法意义的理解，帮助孩子更好地建构乘法定律的模型。在教学乘法分配律时，我们可以先让孩子读一读算式，读出算式的意义，比如 45×36+55×36 读成 45 个 36 加 55 个 36 等于100 个 36,44×25 可以读出44 个25 等于40 个25 加4 个25，在学生充分读、理解算式的意义的基础上理解乘法分配律的结构。在此基础上，老师提出“这样的等式多吗？能说得完吗？那能不能用一个算式表达出来刚才发现的规律？”这样的问题，鼓励学生用字母、图形代替数，一般性地表达所发现的规律，并经历由图示表达到语言表达再到数学符号表达的过程，让学生在说理中再次体会所发现的规律，培养学生的符号意识，有助于学生形成初步的代数思维。

通过多元表征，借助乘法意义理解乘法运算定律，仅仅抓住乘法定律外在变化的“形”来理解内在不变的“理”，将形式归纳与意义理解相结合，助力学生自主建构乘法定律的模型，帮助学生在今后的学习中灵活运用和顺利迁移。

总之，在教学乘法运算定律时，我们要紧扣乘法意义，理解定律本质，用乘法意义来统领两个运算定律，让学生经历知识从懂—彻底懂—经过消化的懂的过程，从而让学生学得通透，用得灵活。

参考文献：

[1] 王翠丽 吴海棠.“乘法分配律”教学实录与评析[J]. 小学数学教育，2023,1—2

[2] 朱文静 . 小学数学乘法分配律学习进阶的研究 [D]. 上海：上海师范大学，2020