基于APT 教学模型的“圆的标准方程”教学设计

引言

解析几何的教学需要平衡抽象思维与直观认知，圆的标准方程作为典型内容，常因教法单一导致学生理解困难。APT 模型（由教学评价、教学法和技术工具三要素构成）为破解这一困境提供了新思路，其分析、教学、技术三要素的协同作用，能够有效支持概念建构。本研究以高中数学教材为案例，探索如何通过情境创设、技术融合和分层训练，使学生在掌握知识的同时发展核心素养，为几何教学提供可借鉴的实践路径。

一、模型优势

APT 教学模型（一种全新教学模型，是依据教学实践，将评价、教学法和技术三者深度融合的新型教学模式，由三个要素组 成：A (Assessment) 指 教 学 评 价，P (Pedagogy) 指 教 学 方 法，T(Technology) 指技术工具）在高中数学教学中展现出显著优势，尤其在圆的标准方程这类抽象概念的教学中。该模型通过系统整合学情分析、教学法设计和技术应用，能够有效突破传统教学的局限性。在学情分析阶段，教师可以精准把握学生对圆的几何特征与代数表达之间的认知障碍，为后续教学设计提供依据。教学法设计强调建构主义理念，通过问题情境和探究活动引导学生自主构建知识体系，避免机械记忆公式。技术工具的融入则使抽象的数学概念可视化，动态几何软件能够实时展示圆方程参数变化对图形的影响，增强学生的直观理解。三者有机结合形成教学闭环，既关注知识传递效率，又重视思维发展过程，使学生在掌握圆的标准方程的同时，提升数形转化能力和数学建模意识。这种教学模式兼顾了知识深度与学习体验，为解析几何教学提供了新思路。

二、高中数学教学现状

当前高中数学教学在解析几何部分仍面临诸多挑战，圆的标准方程教学便是典型代表。许多教师过于侧重公式记忆和机械练习，忽视了几何直观与代数表达的关联建构，导致学生难以理解方程参数的几何意义。课堂活动设计单一，缺乏真实情境的引入，学生往往被动接受结论而不知其所以然。技术应用层面，虽然多媒体工具已普遍进入课堂，但多数停留于静态演示，未能充分发挥动态几何软件的交互功能。此外，教学评价偏重结果性考核，对推导过程和思维发展的关注不足。这种传统模式容易造成学生形式化理解数学概念，遇到变式问题或实际应用时便出现困难。要改变这一现状，需要从教学理念到实践方法的系统性革新，这正是 APT 模型所能提供的解决方案。

三、基于APT 教学模型的“圆的标准方程”教学设计

（一）学情分析与教学目标设定

在高中数学教材中，圆的标准方程位于必修二第四章《圆与方程》的第一节，是解析几何的基础内容。学生在学习该内容前，已经掌握平面直角坐标系、两点间距离公式等知识，但对如何用代数方法描述几何图形仍存在认知障碍。部分学生容易混淆圆心坐标与方程参数的对应关系，或在推导过程中忽视几何条件的代数转化。基于 APT 模型的学情分析（通过教学评价、教学法设计和技术工具的整合分析），教师需关注学生的思维障碍点，如对圆的几何特征的理解不足，以及代数运算能力的差异。教学目标应聚焦于三个方面：一是让学生理解圆的标准方程的推导逻辑，掌握其代数表达形式；二是培养学生数形结合的能力，能够根据方程描述圆的几何特征；三是通过实际问题的解决，提升数学建模意识。例如，教师可设计问题情境，如“如何在坐标系中描述一个车轮的运动轨迹”，引导学生从几何直观过渡到代数表达。

（二）教学情境设计与技术融合

教学情境的设计应贴近学生生活，激发学习兴趣。在高中数学教材中，圆的标准方程的引入通常以几何定义为基础，即“平面上到定点的距离等于定长的点的集合”。教师可借助动态几何软件GeoGebra，展示不同圆心和半径的圆的生成过程，让学生直观感受方程参数的变化如何影响图形。例如，在课堂导入环节，教师可提出一个实际问题：“某公园的摩天轮中心位于坐标（3,4），半径为20 米，如何用数学方程描述其运动轨迹？”学生通过 GeoGebra 调整参数，观察圆的动态变化，从而建立几何与代数的联系。技术工具（GeoGebra）的应用不仅增强了课堂互动性，还能帮助学生突破抽象思维的障碍，使数学概念更加具体化。

（三）探究式学习与公式推导

在圆的标准方程的推导过程中，教师应避免直接呈现结论，而是引导学生通过探究活动自主构建知识。例如，教师可设计小组合作任务：“给定圆心（a,b）和半径 r，推导出圆的标准方程。”学生先回顾两点间距离公式，再结合圆的几何定义，尝试建立代数关系。教师可借助智慧课堂工具收集学生的推导过程，实时展示不同小组的解题思路，并进行对比分析。在教材中，圆的标准方程的推导强调从几何条件到代数方程的转化，教师可进一步引导学生思考：“如果圆心在原点，方程会如何简化？”通过层层递进的问题链，帮助学生深入理解方程的结构特点。这种探究式学习不仅培养了学生的逻辑推理能力，也增强了他们对数学知识的主动建构意识。APT 模型中的教学法设计（探究式学习）与技术工具（智慧课堂）的协同作用在此环节得到充分体现。

（四）分层练习与反馈优化

为了巩固学生对圆的标准方程的理解，教师应设计分层练习，满足不同学生的学习需求。基础练习可包括直接给出圆心和半径，要求学生写出方程，如“圆心（-2,1），半径 3，写出圆的标准方程”。变式练习可增加逆向思维训练，如“已知圆的标准方程为μ(μ_X⁺1 ） ²+(y-2)²=9 ，指出圆心和半径”。拓展练习则可结合实际问题，如“某圆形花坛的边界经过点（1,1）、（3,5），求其标准方程”。教师可利用在线学习平台，如雨课堂或智慧作业系统，实时收集学生的答题数据，分析错误类型，如常见的符号错误或半径计算错误，并进行针对性讲解。这种数据驱动的教学反馈机制（APT 模型中教学评价的体现），能够帮助教师精准调整教学策略，提高课堂效率。

结束语

综上所述，APT 模型重构圆的标准方程教学，验证了技术赋能下探究式学习的有效性。动态演示工具化解了几何抽象的认知障碍，分层练习体系巩固了不同层次学生的理解。未来可进一步探索智能诊断系统在个性化教学中的应用，使技术真正服务于思维发展。这种教学模式对解析几何乃至其他数学领域的教学都具有推广价值。

参考文献

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本文系陕西省“十四五”教育科学规划 2024 年度课题“新高考背景下宝鸡市高中生数学核心素养培养的困境与对策研究”的研究成果。课题批准号：SGH24Y0936