静品综合实践，探究数学模型

下面我将以《如何制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子》为例探究综合与实践的导学模式。

一、分析学生学情

学生初中阶段第一次进行“综合与实践”，他们对简单几何体的侧面展开图、列代数式、代数式的求值、统计图的画法等知识已具有一定的认知水平，由于学生在本学期的数学学习过程中，经历了多次探索性学习，所以他们具备了一定的探索、研究能力，基本适应了自主学习，小组合作学习等学习方式，为学习本节课打下了一定的知识以及能力基础。

二、制定教学目标

本小节的教学目标如下： ① 经历从实际问题抽象出数学问题——建立数学模型——综合应用已有的知识解决问题的过程； ② 在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念与符号感； ③ 通过借助已有的信息去推断事物变化的趋势的活动，发展学生的推理能力； ④ 体验数学知识之间的内在联系，初步体验数学活动是一个整体； ⑤ 获得一些研究问题的方法和经验； ⑥ 通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

三、案例分析

本节课由四个教学环节组成，分别是 ① 课前知识准备； ② 提出问题，学生动手制作； ③ 分组合作，探索体积变化； ④ 数学建模方法归纳小结。

第一环节：课前准备，观看微课

问题提出：同学们，请你们回想一下你曾经上过最有趣的数学课是什么？

微课学习：本堂课涉及计算器的使用，以及“矩形”这一概念，为了使得课程能够顺利进行，我采用观看微课的形式对这些知识进行学习铺垫。

第二环节：提出问题，学生动手

提出问题：如何用一张正方形的纸片制成一个无盖的长方体？请你动手试试看。观看长方体的展开与折叠，怎样将正方形的纸片剪成这种形状？剪去的部分是什么形状？

实验探究：

材料：边长为 20cm 的正方形卡片、剪刀、直尺、透明胶、计算器

要求：1. 制作出一个尽可能大的无盖长方体；2. 计算出长方体的体积

小组分工： ① 组长 1 人：统筹管理； ② 剪刀手 1 人：负责制作最大长方体； ③ 计算员1 人：计算体积； ④ 测量员1 人：测量数据。

请你填写：长方体长 ；宽 Σ=Σ ；高 =_- ；体积 = 。

你觉得你的体积是最大的吗？

设计意图：让学生动手操作，使他们感受纸盒的长、宽、高和原来的纸片的边长以及剪去的小正方形的边长之间的关系，培养他们的空间观念。

设计效果：部分学生对制作无盖的长方体不知道如何下手剪裁，教师适当提醒：观看长方体的展开折叠动画，怎样将正方形的纸片剪成这种形状？剪去的部分是什么形状 ？ 学生通过动手操作，初步体会到剪下的小正方形的边长对长方体的体积有较大的影响。让学生分小组制作出自己认为最大的无盖长方体。

第三环节：分组合作，探索体积的变化

请学生回答以下问题： ① 为什么你的长方体体积和其他同学不一样呢？（长宽高不一样） ② 是什么原因造成长宽高不一样呢？决定长方体体积的是什么？ ③ 如果正方形纸片的边长为 20cm ，剪去的小正方形的边长为 ，你能用 σ_X 来表示这个无盖长方体形纸盒的容积吗？那我们 σ_X 怎样取值呢？能取哪些值呢？取 1cm ， 2cm ， 3cm ，4cm ， 5cm ， 6cm ， 7cm ， 8cm ， 9cm ， 10cm 时，折成的无盖长方体的体积如何变化？请你用计算器分别计算。

设计目的：让学生通过将 σ_X 的值代入公式，初步体会在 σ_X 取整数值的情况下， x 等于 3 时，体积最大，达到最大前后，体积随着 σ_X 的增大而减小。

得到：如果剪去的小正方形边长为 ρ_X ，那么无盖正方体的体积是： V=x（20-2x）²

进一步借助表格得到 x 等于 3 时，体积最大，达到最大前后，体积随着 x 的增大而减小。

教师展示绘制的统计图（ 图略）并提出问题：

1. 当 σ_X 增大时，V 随 σ_X 变化如何变化？

2. 当剪去的小正方形的边长是 3cm 时，所折纸盒的容积最大。你有不同想法吗？

第四环节：数学建模归纳小结

通过本节课的学习，我们复习了本学期的有关知识，看到了数学在日常生活中的应用，并利用统计的方法看到：当剪去的小正方形的边长接近 3.3cm 时，长方体的体积最大。在以后的生活中，我们要学会利用最少的资源做尽可能多的事。利用数学建模解决生活中的问题。

数学建模一般步骤：

四、总结模型，再看综合与实践课

在这里不难看出综合与实践课有一个核心点，就是通过实验操作解决一个问题。这样的一个推演对学生今后无论是解决数学问题还是解决生活问题都有非常大的作用。新课程改革以来 ， 随着数学建模进入数学课程标准和初中数学教材 ， 数学建模能力成为初中生必须掌握的关键能力 ， 数学建模能力培养成为数学教育的重要目标和改革方向。然而 ， 调查研究表明 ， 当前初中生数学建模能力培养存在着一些亟待改进的问题 ， 如何培养初中生数学建模能力仍然困扰着一线教师。究其原因是当前初中数学建模教学缺乏行之有效的理论指导 ， 也缺乏可供参考的教学策略 ， 初中生的数学建模学习也缺少行之有效的学习方法。所以综合与实践课成为我们重要得数学建模纽带，希望更多得老师们能够“静品综合实践，探究数学模型”。