浅谈挖掘初中数学教材习题潜在的思维价值

教材是众多数学教育专家集体智慧的结晶，具有深刻的思想性、严谨性和科学性，而数学的习题是数学教材的重要组成部分，所有数学教材无一例外地会配备大量的习题。近几年的中考试题有很多是依据课本典型的例题及习题进行变形、变式、综合及拓展而来。教材中的习题具有示范性，典型性和探究性，是课本的精髓。它一方面起到了加深学生对概念、知识的理解， 复习并巩固知识的作用；另一方面也是培养学生能力的重要载体。在当前课改的背景下，教师应充分认识课本习题所蕴涵的价值，注重对课本习题进行充分的挖掘和研究，对其深化、发展和全方位探索，挖掘其内含及外延，把新旧知识有机地组合起来，以达到优化认知、开阔眼界、活跃思维和提高能力的目的。

本文以新人教版教材初中数学中的习题为例，就如何开发课本中典型习题潜在功能，培养学生创造性思维能力谈谈体会。

一、一题多解，夯实双基，培养学生的发散思维。

课本上的习题一般只给出一种解法，如果我们在学生系统、全面地获得有关知识后，启发学生从不同的角度去联想，多方探求，就可以重现更多的知识点，使知识形成网络，也便于培养学生的求异思维和发散思维能力。

以人教版教材的习题为例，如图 1，AB、CD 为 ⨀ O 的切线，AB ∥ CD，EF 为 ⨀0 的切线，分别交 AB、CD 于 E、F 点，求证∠ °。

师生通过多方联想探索，可获得上述命题的如下证法。

经比较，证法 ¹ 是基本的，证法2、3 较新颖，有一定的创造性，这样处理这道习题既复习巩固了学生所学的有关知识，同时对于拓宽解题思路、开阔解题视野，培养学生综合运用知识的能力都有十分重要的意义，通过一题多解，既能促使学生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，同时充分发掘学生的自身潜能，多方法，多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质。

二、挖掘隐含，深化结论（一题多变），培养创造性思维。

为了提高解题能力，从“数”与“形”两方面将该命题进一步拓宽、引伸，充分挖掘出命题潜在的思维价值。思维的创造性表现在培养抓住事物的规律与本质，能够深入地分析、思考问题，进而把具体思维对象的本质属性揭示出来，使学生的思维能力进一步得到提高。下面以此为基点，从“数”与“形”两方面将该命题进一步拓宽、引神，充分挖掘出习题潜在的思维价值。

（1）挖掘习题的深度，从而纵向引伸。

在保持原命题条件基本不变的情况，继续探讨新的结论，培养思维的深刻性。

（2）挖掘习题的广度，从而横向拓展。

部分变动命题条件，强化迁移，可培养思维广阔性，变 ⨀ O两平行切线为过直径端点的切线EF 的垂线。

命题1 如图6，直线MN 和 ⨀ O 相切于点 C，AB 是 ⨀ O 直径，AE ⊥ MN，FB ⊥ MN垂足分别为E、F，BF与 ⨀ O交于点G，AC是弦.求证 ① AC 平分∠ BAE； ②AB=AE+BF ； ③EF²=4AE⋅BE ； ④ 如果 ⨀0 半径为 5， AC=6 ，试写出以 AE、BF 长为根的一元二次方程。

解析： ① 连接 CO，易证出 AC 平分 ∠ BAE； ② 连接 OC，先利用 AE、BF 都垂直于 MN，而 ，可证四边形 ABFE 是梯形，而 O 是 AB 中点，且 AE ∥ OC ∥ BF，根据平行线分线段成比例定理的推论，得 CE： CF=AO ：BO，C 是 EF 中点，从而 OC 使梯形中位线，利用梯形中位线定理可证 AE+BF=20C ，而 AB=2OC，即可证； ③ 连接 AC、BC，AB 是直径，易得∠ ACB 是 90^∘ °，从而∠ ACE+ ∠ FCB=90°，而 BF ⊥ MN，易得 ∠ FCB+ ∠ FBC=90°，利用同角的余角相等，可证∠ ECA= ∠ FBC，再加上一对直角相等，容易证出△ EAC ∽△ FCB，可得比例线段，代入比例线段，化简即可得证。 ④ 由 ② 可求得 AE+BF=10 ，又由勾股定理与相似三角形的性质，求得 AE 与 BF 的长，继而求得 AE·BF，即可得以 AE、BF 的长为根的一元二次方程。

图6

通常数学命题的拓展与引伸，应注意命题之间的变通与联系，在教学过程中教师应当在吃透教材的基础上，精心选择出课本中的典型习题，并努力创设出问题解决的各种情境，激发学生主动参与到问题解决活动的过程中来，让学生在发现、猜想、探索、验证等思维活动过程中受到不同层次的思维训练，真正体验到成功者的喜悦与满足，从而激发学生的创新意识，发展学生的创造能力。教材中可以做类似这样“变式”的题目还有很多，它遵循学生的认知规律，有助于培养学生良好的知识结构，也可以帮助学生摆脱题海的困扰，在复习中取得实质性的效果．教学时，要深挖数学教材习题的本质，触类旁通，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维，自然地形成经验。

教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变．同时引导学生去探索数学问题的规律性，能够在生活中学以致用，增强学习的信心和兴趣。使思维的广阔性和深刻性得到提高。

总之，在全面推进课程改革的今天，教学中认真钻研教材，领会教材编写意图，充分发掘教材潜能，深刻理解课本习题的重要价值，对提高数学教学有效性具有积极意义，教学中教师应善于捕捉课本中典型习题的求解信息加以研究，并进行合理再利用，在平时课堂教学中能有意识地对其通过师生共探的方式展示，不仅有利于引导学生更好地利用课本，突出教材的基础地位，同时有利于减轻学生无效的学习负担，提升学生的创新能力。

参考文献：

1、G·波利亚  怎样解题——数学教学法的新面貌 上海科技教育出版社2、翁凯庆 数学教育学教程 四川大学出版社3、冯剑 浅谈基本图形的运用与变式 中国数学教育