音乐与数学：跨学科的创新与实践探讨

引言

音乐是听觉盛宴，数学是逻辑严密的科学，二者之间似乎联系甚少，但事实时，这二者之间有着深层次的联系。毕达哥拉斯发现了弦长与音程的关系，巴赫的《赋格的艺术》用的是数学严密的逻辑构建的，傅里叶变换将任何声音都能分解程正弦波，现代的计算机与 AI 也能创作音乐，这些都展现出了音乐与数学的深沉次联系。本文主要分析音乐与数学二者之间跨学科的创新与实践，为后世相关的探索提供参考。

一、数学是音乐理论的基石

1.1 音律与数学的和谐

西方探索音乐与数学之间联系的起源是公元前六世纪的毕达哥拉斯。传说中，毕达哥拉斯在经过铁匠铺的时候，听到了不同锤子使使敲击发出的协和程度不同的声音，这些声音时而和谐动听，时而平淡如常，时而刺耳嘈杂。注意到这一现象的毕达哥拉斯用一弦琴进行尝试，发现了著名的毕达哥拉斯音律，成为音乐与数学联系探索的开端，证明了数学与音乐之间的潜在联系。此音律的体系完全基于纯五度的循环相生，这也是首次数学原理被系统的用来构建整个音阶。

1.2 五度相生律与十二平均律

毕达哥拉斯音律开创了数学与音乐联动的先河，其五度本应该极度纯净，但相生十二次后得到的第十三个音却无法回归到发音的高八度，数学结果上，无法得出纯粹的 2，而是略微高一点，这被成为比大哥斯拉音差。这意味着任何一个高音固定的乐器，都无法完成展现调性上的完美协和与自由转调。为解决这个问题，东西方学者得出了相同的结论，十二平均律。十二平均律本质上是一个等比数列，每半个音之间的频率比是常数，十二平均律用微妙的，难以察觉的不纯，分摊掉了毕达哥拉斯音差，以此来保障转调畅通无阻，让西方音乐有了绝对美妙的数理基础。

1.3 节奏与节拍数学本质

音乐不仅高音与数学息息相关，节奏与节拍更是与数学紧密联合。节奏本质上是对时间的有序分割与组合，核心是数学的分数，音符都可通过分数的方式表达，比如 1/2 即是二分音符，1/4 是四分音符等，由此可以看出，音符的时值就是分数的加法运算[1]。

拍号则是另外一种定义分数关系的数学公式。4/4 是四分音符为一拍，每小节有四拍，数学内涵是一个小节的总时值，比如全音符即等于1=4^*1/4 。后续所有的节奏变化都是整数 1 到分数的不断变化，演奏与读谱的过程则可认为是在时间轴上不断执行分数运算与合成的过程。

二、数学理论可驱动音乐创新

2.1 数学结构与合成

现代音乐的基础基于对声音本身的数学化理解。约瑟夫·傅里叶的理论表明，任复杂的周期性波形都可是正弦波的不同叠加形式。在此基础上，傅里叶分析诞生。他提出的革命性的理论助力了现代电子音乐的发展，实现了音乐数据的高效储存与传输。音乐的本质是频谱的数学特征，这一发现大大促进了数字音频和合成器的发展。

2.2 音乐机构的抽象建模

面对无调性音乐等复杂作品，传统的分析方式失效。数学家与音乐理论家开发了一种全新的数字工具。比如阿伦·福特开创的音级集合理论，此条理论将十二平均律的高音简化成 0-11 的数字，将音乐片段视为一个数字合集，通过计算不变量来比较不同音乐段落的结构相似性，群论则更进一步，直接分析音乐的对称性。比如一个高音序列的移位、逆行、倒影等变化恰好对比着数学上的循环群和二面体群，以此，为后续的序列主义作品提供了强大的框架。

2.3 算法作曲与生成音乐

算法作曲指的是以特定的数字规律或程序来自动生产的音乐。现代方式生产的算法作曲依赖的是人工智能与计算机，马尔科夫链利用数学计算音符的序列，通过转移概率来生产风格相似的旋律。当前的主要

算法作曲主流的是深度学习，相关的音乐生成AI 能够通过学习与训练，分析音乐中深层次的语法与和声等结构，以此生成全新的音乐。

2.4 音乐信息检索

音乐信息检索是一个交叉学科利用的典型，计算机想要识别、理解音乐，完全依赖数学工具。数学信号处理能够进行高音追踪与节拍检测，而统计学能够助力计算机识别和弦和调性检测 [2]。机器学习算法则是能实现风格自动识别和相似性检索，此类功能组成了一个完善的自动化音乐软件，每日推荐、风格识别等关键功能都依靠此类数学模型支持。

三、跨学科的实践挑战与展望

3.1 人工智能音乐的理论与美学

随着科技的不断进步，生成式 AI 的作品越来越多，这也诱发了新的关于 AI 作品的思考。首先是美学价值，给予算法生成的音乐是否是真的艺术，还是仅仅是对已有风格的模仿再造？其次是伦理挑战，部分AI 生成的音乐涉及版权问题与归属问题，使用生成式 AI 创作的作品版权到底是该归属谁也成为难题。这些都是现代音乐的难题。

3.2 交互性与可视化

数学带给音乐的另外一个好处是交互与复杂可视化。现代科技基于数学逻辑建立，新媒体、互动性 AI 等等都依据数学模型进行互动，在此基础上，音乐与数学的融合，增加音乐的展示平台。首先算法能将音频信号转化为复杂的生产艺术影像，让音乐不再局限于听觉，而是与视觉产生互动，打造沉浸式的视觉听觉体验，比如teamlab的沉浸式展览。其次是 MAX/MSP 等图形化编程平台，让创作者可以构建基于数学模型的自定义交互乐器，开发音乐的创造力与表现力。

3.3 探索更前沿的数学工具

随着科技的不算进步，数学与音乐的融合能向更抽象的数学领域寻求突破。首先是拓扑学，此类技术可以用于建模音乐空间，由拓扑学支持的音乐作品可通过相似的和声或旋律，认为彼此相近，以此来拓展音乐创造与音乐生产的多样性，助力更多音乐作品的产生，分析音乐的发展路径。其次是微分几何，可以用来描述更加复杂的音色空间的流行结构，让音乐的数学特性更容易被发现。分形几何已经开始尝试用于生成具有自相似性的节奏与结构。此类工具都有助于为音乐与数学提供更宏观形式或微观联系的全新数学语言。

3.4 教育的融合

将音乐与数学跨界融合成为了教育中重要的一环[3]。学生可以通过编程学习算法作曲，学生能更加直观的理解循环、条件判断等计算思维概念，而声学试验则能助力学生更好的理解傅里叶变换，将数学公式转变为可听的音乐，此类融合教育打破了传统的学科壁垒，培养具有更有逻辑思维与艺术创造力的复合型人才。

结语

音乐与数学的相互起源于人类对未知的无线探索，二者之间的深层次探索则是人为探索的必经之路。整数定义和谐到开方计算确定律制，再到现在的深度学习网络谱写乐章，数学与音乐始终有重叠的领域，数学作为逻辑严禁的学科，从科学的角度解释音乐为何会如此动听，以及如何让音乐更动听，二者不断结合和互相解释的过程中，不断诞生新的艺术形式和科技产业，二者之间的不断交汇必然走向更璀璨的未来。

参考文献

[1] 金奎 ， 陈绪梅 . 数学与音乐的跨学科融合——以综合与实践课 " 吸管能奏乐么——反比例函数的应用 " 为例 [J]. 中学数学杂志 ，2024（2）：29- 33.

[2] 沈朝霞 ， 舒荷影 . 乐韵数理 ： 跨学科综合与实践活动设计思与行——" 音乐中的数学奥秘 " 磨课经历与思考 [J]. 小学数学教师 ，2025（1）：43- 48.

[3] 黄翔 ， 童莉 ， 宋亦然 . 当数学与音乐在课程中相遇 ：" 目标 "" 内容 " 与 " 教学 "[J]. 数学教育学报 ， 2022， 31（6）：6- 10.