钻研试题本质 助推素养提升

引言：

概率作为研究随机现象及其规律的数学分支，是高中数学知识体系的重要组成部分，在培养学生理性思维、提升决策能力中发挥着关键作用 [1]。概率知识的学习与运用对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养的培养提出了要求。本文以 2025 年高考数学全国卷 Ⅱ 第 19 题为例，从该题的概率情境设置与核心素养考查逻辑出发，深入剖析其解题思路并探讨高中教学中落实核心素养培养的路径。

3 命题设计与解题难点解析

2025 年高考数学全国卷 Ⅱ 第 19 题是对高考数学引入新定义问题的延续，也是今年的新探索。它要求学生能够创造性地分析问题，在新颖情境中积极主动思考，建立新问题与已有知识的联系，进而形成解题思路，并且试题突出数学问题本质、考查数学思维、体现学科价值和创新性的考查要求 [2]。题目以乒乓球比赛为载体，将概率模型与竞技规则相融合，既呼应《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》中情境化教学要求，又落实《教育强国建设规划纲要（2024—2035 年）》对强化关键能力、学科素养和思维品质考查的部署，促使数学知识从抽象公式转化为解决实际问题的工具。同时，该题对与学生数学核心素养的培养进行考查，在数学抽象上，学生需将实际比赛得分情境抽象为严谨概率模型；在逻辑推理上，学生既要依据已知条件推导、归纳出一般性概率关系，又要在证明时遵循严密逻辑规则，经合理变形、推导得出结论，充分检验逻辑思维的严密性与连贯性；在数学运算上，要求学生具备扎实运算功底，保障运算结果准确高效。

难点主要有以下几个方面。在将乒乓球比赛规则转化为数学模型方面，学生需要突破实际情境的表象，精准提取关键信息并转化为数学语言而部分学生 “从特殊到一般”的数学思想薄弱导致难以挖掘其中隐含的概率递推逻辑因而无法建立起比赛进程与概率递推关系之间的有效关联。在递推关系证明方面，学生需深度理解马尔科夫链的状态转移思想，明晰 “当前状态仅由前一状态决定” 这一核心逻辑，同时要熟练调用概率加法公式与乘法公式，将复杂的概率事件拆解为若干简单事件的组合，通过分步分析实现化繁为简。然而，现实情况是，众多学生在日常学习中，忽视课本中的推广探索部分的习题以及缺少递推关系构造的专项训练，使其面对题目中事件间的递推规律时难以敏锐识别与捕捉。在知识迁移方面，学生需要将数列领域的递推思想，灵活迁移至概率问题中，但部分学生受限于知识模块的割裂式学习，未能在概率与数列之间搭建起联系的桥梁，当需要跨模块调用知识时，无法实现有效迁移难以找到解题的突破口。

4 教学启示

4.1 深耕教材，巧拓教学

“双减”政策背景下，高考命题更加强调“依标命题，源于教材”的原则 [3]。2025年高考数学全国卷Ⅱ第 19 题虽具创新性，但其知识根源仍可追溯至教材内容。该题考查概率递推关系与人教版数学选择性必修三教材第91 页第10 题涉及马尔科夫链模型高度相关。表明高考命题专家在命制试题时，将教材习题作为重要的参考资源。针对这一特点，教学中应深度开发课本习题，对教材中的经典题目进行多角度解析，不满足于“得出答案”而要深挖“思维过程”，还要进行变式训练拓展思维，对教材习题进行条件变换、结论延伸和背景迁移，培养学生的适应能力。除此之外要串联分散的知识模块，教师需有意识地建立跨章节联系，在复习阶段整合相关知识点，形成完整知识网络。

4.2 聚焦素养，重塑课堂

通过对该题的分析研究发现高中数学教学必须重视数学核心素养的培育。此题中学生需将乒乓球练习这一现实情境抽象为概率模型，是数学抽象素养的体现；在证明过程中，从特殊情形推导至一般情况，对逻辑推理素养提出要求；构建重复独立事件概率模型的过程，是数学建模素养的运用；对事件概率关系的分析与计算，离不开数学运算素养。因此在日常教学中要从 “知识灌输” 转向 “素养培育”，将课堂重心放在引导学生用数学视角洞察现实、用逻辑思维拆解问题、用数学模型解决实际需求上。通过重构教学内容体系，把抽象、推理、建模等素养目标融入各章节教学，而非仅关注零散知识点。同时，以真实情境问题为载体，让学生在完整的 “发现问题 — 构建模型 — 解决问题” 过程中，逐步形成数学思维方式，实现从 “学会解题” 到 “会用数学” 的深层跨越。

4.3 拓展边界，提升能力

高考命题的“竞赛化倾向”与“跨模块整合”趋势要求学有余力的学生适度拓展知识边界 ， 适当引入一些高等数学思想能够拓宽学生的知识视野，提升学生的思维层次 [4]。能够帮助学生从更宏观、更深入的角度理解问题。引入高等数学思想的过程也是培养学生自主学习能力的过程，教师可以引导学生通过阅读相关科普书籍、学术论文或者在线课程等方式，自主探索这些拓展知识。在探索过程中，学生主动思考不仅能够加深他们对知识的掌握程度，还能培养其独立学习和研究的能力。

参考文献：

1. 黄玉鲜 ， 周莹 ， 陈基河 . 核心素养视域下的高中教材习题比较研究——以“概率与统计”教材习题为例 [J]. 数学教学通讯 ，2022，（03）：14-17.

2. 更新理念深化数学基础创新题型考查思维能力——2025 年高考数学全国卷试题评析 [J]. 中国考试 ，2025，（07）：89-94.

3. 李雅芝 ， 林梅 ， 余泉 ， 等 .“双减”背景下高考数学命题改革研究 [J]. 中学数学 ，2025，（01）：69-70.

4. 张玉良 . 高考数学命题题源探究 [J]. 高中数理化 ，2020，（16）：27-28.