基于新高考的高中数学核心素养培养路径探究

中图分类号：G 文献标识码：A 文章编号：450102049（2025）06EM-0081-05

素养导向的教育理念强调，在教学过程中必须重视培养学生的关键能力与必备品格，为学生的全面发展和终身发展奠定基础。当前，“素养为本”已成为新时期我国教育改革的重要内容。“教育既要让学生获得知识，更要让学生形成良好素养”。可见，构建“素养为本”的教学模式，将知识、能力、情感态度、价值观的培养融为一体，突出数学学科特色，提升学生的数学学科素养，是新时代对高中数学教学的要求。

一、新高考对数学核心素养的要求

新高考改革是国家推进素质教育、促进教育公平的重要举措。和以往相较，新高考数学科目更加注重对学生数学素养的考查。首先，新高考始终坚持对学生数学基础知识和基本技能掌握情况的考查，强调要夯实学生的数学根基，同时更强调提高学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力，要求学生具备一定的数学实践能力和应用意识。其次，新高考对学生数学思维能力提出了更高要求［1］。数学抽象能力是数学思维的核心要素，是把具体的、感性的现实世界转化为抽象的数学模型的关键所在。因此，新高考特别重视考查学生的数学抽象能力，考查学生概括提炼数学本质、用数学语言表述问题的能力。此外，数学逻辑推理能力也是新高考关注的重点，要求学生能运用数学知识进行论证、推理、证明，体现出数学思维的严谨性和逻辑性。同时，新高考还注重对学生数学建模和创新意识的考查。数学建模是把现实问题抽象为数学问题，通过构建教学模型并运用数学工具进行分析、求解和验证的过程，是数学创新的重要途径。新高考设置开放性试题，鼓励学生创造性地提出解决问题的数学模型，考查学生的创新意识与创新能力［2］。

二、新高考背景下的高中数学核心素养培养路径

在新高考背景下，为了在高中数学教学中推进素质教育，培养学生的数学学科核心素养，笔者以人教A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的知识内容为例，探索在新高考背景下如何培养学生数学核心素养的路径。

（一）优化教学设计，引导学生主动探究，培养学生探究问题的能力

1．明确教学主题、教学目标、教学重难点，利用圆的知识培养学生解决实际问题的能力

在教学过程中，教师应明确教学主题、教学目标、教学重难点，培养学生解决实际问题的能力。例如，在进行人教A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的教学时，教师可以这样安排。

首先，明确教学主题。“圆”这部分内容的教学主题是掌握圆的方程及其应用。

其次，明确教学目标。通过本节课的学习，使学生掌握圆的标准方程和一般方程，理解直线与圆、圆与圆的位置关系，运用解析几何的方法分析和解决实际问题，培养学生的数学抽象能力和逻辑推理能力。具体目标如下：

（1）掌握圆的标准方程 （x-a）²+（y-b）²=r² ，理解圆心坐标 和半径r的几何意义；

（2）理解并掌握圆的一般方程 x²+y²+Dx+ Ey+F=0 ；

（3）掌握直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）的判定方法；

（4）理解两圆位置关系（外切、内切、相交、相离）的判定方法。

再次，确定教学重点。本节课的教学重点是掌握圆的标准方程和一般方程，理解直线与圆、圆与圆的位置关系。

最后，找准教学难点。这一节课的难点是利用圆的方程解决直线与圆、圆与圆的位置问题。

2．以圆的知识为切入点，引入问题，激起学生学习的热情

首先，教师出示一张圆形喷水池的照片，提问：“这是一个圆形的喷水池，如果大家想描述这个圆形，需要哪些要素？”学生经过讨论，提出了圆心坐标和半径等要素。教师适时引入圆的标准方程 （x- a）²+（y-b）²=r² ，说明圆心坐标 和半径 r 是确定一个圆的充分必要条件。

其次，教师引导学生转入对圆的一般方程进行分析。以轨道交通为例，展示两条盾构隧道施工示意图，提问学生：“在地铁隧道施工时，两条隧道需要精准对接，这就要求你们准确描述隧道的位置。你们可以把这里的隧道看成圆的一部分，那么，如何建立它们的数学模型呢？”由此引出圆的一般方程 x²+y²+ Dx+Ey+F=0 。在教师引导学生思考实际问题时，圆的位置可能比较随机，此时使用一般方程描述圆会更加方便灵活。这样，通过实际问题的引入，激发了学生学习圆的方程的兴趣，让学生感受到圆的方程在实际问题中的应用价值，为进一步学习圆的知识做好铺垫［3］。

3．优化教学设计，引导学生探究新知，培养学生探究问题的思维能力

在教学过程中，为了激起学生探究的热情，教师应优化教学设计，突出数学知识形成和发展的思想方法，培养学生的数学思维。教学设计应体现知识的内在联系，注重前后知识的衔接，凸显知识的系统性和连贯性。同时，为了提高学生的思维能力，在教学设计时，教师应设计多样化的学习任务，如增加对学生进行观察、归纳、证明、计算、应用等的要求，引导学生掌握数学抽象、逻辑推理、数学建模等思想方法，提升学生的数学素养。

例如，在进行人教A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的教学时，教师给学生讲解了一个例题：“假设某海域有两个圆形的小岛（如图1），分别记为圆A 和圆B。圆A 的半径为3 千米，圆B 的半径为2 千米。已知圆心A 的坐标为（0，0），圆心B 的坐标为（8，6）。现有一群游客想要从圆形小岛A 的边缘出发，坐船经过海域到达圆形小岛B 的边缘，他们希望找到一条最短的路径。求出两个圆的方程，并请你帮助游客计算出这条最短路径的长度（单位千米）。”

图1 海域上的两个圆形小岛

教师通过这个例题将圆的标准方程与实际相结合，引导学生建立数学模型，将复杂的生活场景抽象为数学问题，旨在培养学生解决实际问题和数学建模能力，培养学生直观想象的素养。同时，由于题目涉及两圆的位置关系和点到圆的距离等知识，还顺便考查了学生的知识迁移能力，体现了"圆"知识内容的内在联系。

（二）阅读教材加深对“圆”知识的理解，培养学生的逻辑推理能力

1. 要求学生认真阅读教材，了解圆的方程，探究圆的性质

为了让学生更确切地了解圆的标准方程和一般方程，探究圆的性质，教师应该要求学生认真阅读教材，观察教材中的图示，独立思考圆方程的定义和特点，让学生在自主探究中初步掌握圆的方程。

例如，在进行人教 A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的教学时，首先，教师要求学生通过阅读教材，观察教材中的图示，独立思考圆的标准方程 （∇x-a∇a）²+（∇y-b）²=r² 的定义和特点，使学生懂得：圆心坐标 和半径r 是确定一个圆的充分必要条件。其次，学生通过认真阅读教材，观察教材中的图示后还发现，圆的一般方程 x²+y²+Dx+ Ey+F=0 是标准方程的另一种形式，只是它显得更加一般化。通过进一步思考和归纳，学生发现圆的方程能反映圆的位置和大小等基本性质。最后，在教师引导下学生对圆的方程有了更加深入的理解。

2. 通过操作几何画板，加深学生对圆知识的记忆和理解

为了加深学生对圆知识的记忆和理解，在进行人教A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的教学时，教师指导学生利用几何画板构建一个动态的圆的方程模型。学生通过改变圆心坐标和半径的值，观察圆的位置和大小的变化情况，发现圆心坐标决定圆的位置，半径决定圆的大小。此外，学生通过几何画板还可以探究到圆的一般方程的图像特征。

3. 引导学生利用坐标系和向量的知识，探究直线与圆的位置关系

为了让学生加深对圆知识的理解，教师引导学生利用解析几何的方法，探究直线与圆的位置关系。首先，教师引导学生回顾直线的参数方程和法向量的概念以及圆的方程。其次，教师启发学生思考：“如何利用直线的参数方程和法向量判断直线与圆的位置关系？”学生经过讨论，得出利用圆心到直线的距离与半径的关系，可以判断直线与圆的位置关系，当且仅当距离等于半径时，直线与圆相切。最后，教师引导学生运用直线与圆的位置关系，解决了相关问题，加深了对圆知识的理解。

4. 指导学生利用圆心距的知识，探究圆与圆的位置关系

为了进一步加深对圆的认识，教师指导学生利用圆心距的知识，探究圆与圆的位置关系。首先，引导学生回顾两点间距离的公式，并引入圆心距的概念进行分析。其次，教师启发学生思考：“如何利用圆心距判断两圆的位置关系？”学生经过讨论，得出利用圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系，可以判断两圆的位置关系，当且仅当圆心距等于半径之和时，两圆外切，当且仅当圆心距等于半径之差时，两圆内切。最后，教师引导学生运用两圆的位置关系，解决相关问题，加深对圆的理解。

5. 指导学生运用圆的方程，解释实际问题，感受数学的价值

为了指导学生学会运用圆的方程解释实际问题，感受到数学的应用价值，教师可以引入一些实际问题作为案例，如给水管道的设计、航天飞行器轨道的确定等。以“四棱锥形乳酪包装设计”问题为例，教师引导学生利用圆的方程，建立数学模型，分析棱锥的尺寸与圆锥的关系。教师提问：“如何选择锥底直径与高的关系，才能使锥体的表面积最省材料？”学生通过运用圆的方程建模，结合一元二次函数等知识，经过推理证明，得出"当锥底圆锥母线夹角为 60^∘ 时，表面积最省材料"的结论。学生通过解决实际问题，体会了圆的方程在实际中的应用价值，感受到了数学的魅力。

（三）重视情境创设，促进学生观察问题、分析问题，建立数学模型能力的提高

教师应重视教学情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究知识。教学情境应贴近学生生活，与现实问题紧密联系，体现数学的应用价值。以进行人教A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的教学为例，在导入圆的标准方程知识时，教师可以展示北京天坛祈年殿的图片，引导学生观察这座古建筑的圆形平面布局和中心对称的结构特点，提出问题：“祈年殿的圆形设计有什么数学原理？如何用数学方法描述这种完美的圆形结构？”问题提出后，学生进行了分组讨论学习。学生通过讨论和分析，发现圆形建筑中所有点到圆心的距离都相等，从而引出圆的标准方程的相关内容，很自然地导入新知学习。

在教学过程中，为了培养学生逻辑推理能力和数学建模能力，教师又创设一个教学情境，引导学生深入学习。四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着成功、幸福、平安、健康，表达了人们对美好生活的向往。某建筑公司计划在城市中心广场建造一个以四叶草为造型的花坛，花坛的曲线方程 c 为 ，如图2。为了增强花坛的观赏性和实用性，公司

理科研讨

决定在花坛内部修建一个圆形喷泉，喷泉的圆心与花坛中心重合，且喷泉边缘与花坛边缘的最近距离为1 米。已知修建喷泉的成本为每平方米a 元，求花坛的面积及求修建这个喷泉的总成本。

图2

教师选取了公司设计四叶草花坛和圆形喷泉这一贴近生活、与学生兴趣相关的现实案例作为教学情境，激发了学生的学习兴趣，体现了数学在实际生活中的应用价值。学生在具体情境中感受数学的魅力，有助于树立学习数学的信心。面对在四叶草花坛内部修建一个圆形喷泉的设计问题，教师可引导学生运用观察、分析、归纳等思维方法，通过草图、坐标系等辅助分析曲线特征，将现实问题抽象为数学问题，建立起解决问题的数学模型。经历从具体到抽象、从直观到理性的数学化过程，学生将在探究过程中懂得了知识和方法的迁移运用，并懂得综合运用了解析几何、极坐标等多个数学知识模块，实现多元化考察、融会贯通的目标。

（四）创新解题方法，培养学生的发散思维和解决实际问题能力

在进行人教A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的知识教学过程中，为了提高学生解决实际问题的能力，教师指导学生运用多种方法进行解题，鼓励学生大胆创新，培养学生的发散思维和解决实际问题能力。

第一，教师指导学生利用参数方程，探究圆上点的坐标表示。首先，教师在学生掌握圆的标准方程的基础上，进一步引入圆的参数方程 x=a+rcosθ ， y= b+rsinθ 。其次，教师引导学生思考如下问题：“如何利用参数方程表示圆上任意点的坐标？”教师提出问题后，学生通过小组讨论和分析，发现改变参数 θ 的值，可以得到圆上任意点的坐标。这种表示方法为解决一些复杂的圆锥曲线问题提供了新的思路。最后，教师鼓励学生运用参数方程，解决圆的相关问题，培养学生的创新意识。

第二，教师指导学生利用解析几何的方法，探究直线与圆的位置关系。首先，教师设计一系列有关直线与圆位置关系的问题，如判断直线与圆是否相交、计算直线与圆的交点坐标等。其次，教师要求学生进行独立思考，运用所学知识解题。在解题过程中，学生需要综合运用直线的参数方程、法向量、圆心到直线的距离等知识，通过代数和几何的结合，找到问题的解决方法。这种解题方法有助于拓展学生的思维，提高学生的数学思考能力。最后，教师鼓励学生探索多种解题方法，培养学生的发散思维。

第三，教师给学生展示一个实际问题，引导学生进行数学建模。例如，某城市规划部门需要在新建社区安装若干个无线基站，每个基站的有效覆盖范围为半径2公里的圆形区域，已知社区中心位于坐标原点，社区边界可以原点为圆心、半径5 公里的近似圆形区域。教师可以引导学生思考如何确定基站的最优布局方案，使得整个社区都能被覆盖，且做到基站数量最少。要解决这个问题，学生需要运用圆的标准方程建立数学模型，通过分析不同的圆之间的位置关系，探讨圆与圆相交、相切、相离的几何条件，并结合圆心距与半径之间的数量关系进行求解。在建模过程中，学生还需要考虑圆的一般方程的应用，利用代数方法计算圆的交点坐标，分析覆盖区域的重叠情况。通过将实际问题转化为教学模型，不仅有效帮助学生加深对圆的几何性质和代数表示的理解，更重要的是培养了学生将实际问题抽象为数学问题的能力，提升了他们数学建模素养和解决复杂问题的综合能力。

（五）强化教学评价，促进学生数学核心素养提升

在进行人教A 版高中数学选择性必修第一册“圆”的教学过程中，为了促进学生数学核心素养的提升，教师加强了对学生学习过程的评价。教师在评价时不仅关注学生的学习结果，更关注学生的学习过程，如思考问题的质量、探究问题的能力、创新意识等。在开展评价的过程中，教师通过设计多元化的评价方式，如利用学生自评、生生互评、师生共评等方式，引导学生反思学习过程，调整学习策略。同时，教师还注重评价的积极导向作用，激励学生勇于探究、敢于创新，不断提升自己的数学核心素养［4］。

例如，教师给学生出了这样的一道题：某城市规划中，计划在市中心的广场（记为点 o ）处修建一个圆形休闲区，已知广场正东方向400米处有一座图书馆A，正南方向300 米处有一座博物馆 B ，如图3。为了方便市民活动，同时考虑到美观和实用性，设计要求圆形休闲区的圆心在广场 o 处，且休闲区的边界与连接A、 B 两点的直线相切。

（1）求圆形休闲区的半径;

（2）若 P 是圆形休闲区边界上任一动点，求 Δ PAB 面积的最大值。

图3 圆形休闲区与图书馆A、博物馆B位置关系图

教师命制这道题旨在考查学生综合运用直线与圆的位置关系等知识的能力。在学生完成了答题任务后，教师在评价时，不仅关注学生的计算结果，更关注学生分析问题、建模、论证的过程。教师非常注意学生在解题过程中是否能提取关键信息，是否能用数学语言表述问题，是否能用恰当的方法求解。这些都能反映学生的数学素养。教师在评价中肯定了学生在探究过程中表现出来的积极性和创新意识，这些肯定意见鼓励着学生在实践中大胆尝试，勇于挑战，不断提升自身的数学核心素养。

综上所述，在新高考背景下，高中数学教学要树立“素养为本”的理念，紧扣数学学科核心素养，优化教学内容，创新教学方式，突出学生主体，在真实情境中培养学生运用数学知识解决问题的能力，提升学生的数学核心素养。高中数学教师应立足学生发展需求，坚持知行合一，在教学实践中不断探索，提高教学能力，促进学生数学核心素养的发展。

参考文献

［1］高连成. 立足核心素养弘扬数学文化：高中数学课堂教学与高考备考策略创新研究［J］. 高考，2024（4）.

［2］窦敬灵.高中数学核心素养的养成路径探究［J］.学周刊，2025，（17）.

［3］陈晓丹.立足课堂教学落实高中数学学科核心素养［J］.数学学习与研究，2023（20）.

［4］把多忠.立足课堂，优化策略：基于核心素养的高中数学课堂教学［J］.数学大世界（下旬），2021（6）.

注：广西教育科学“十四五”规划2023 年度科学教育专项课题“新高考视野下立足‘素养为本’的高中数学课堂教学实践研究”（2023ZJY814）。

（责编 谭宏宽）