以数学直观促进问题解决能力：初中数学教学实践探索

“问题解决”是近年来兴起的一种有效地提升教育质量的方式，但是其在我国刚刚开始发展，其教学结果与《新课程标准》的规定还有很大的距离，对学生数学思维的训练也有很大的影响。究其原因，除了教师自身的教育素养之外，“问题解决”的实施也是一大障碍，主要是因为受了传统的教育模式的制约。在课堂上，老师们常常把“问题解决”这个思维的环节给压缩了，过分强调了对答案解释，没有让他们真正地理解问题的求解方式。另外，在教学中，老师过分强调答案的总结，忽视了学生的推理与论证。这样的教学方式，在影响学生培养解决问题能力的同时，也弱化了他们的思维能力；这种情况下，不但使教学质量下降，还会使学生丧失思维的能力，产生懒惰的惯性。

一、数形结合，直观分析数量关系

求解数学问题时，首先要明确问题产生的前提，否则解题思路就会迷失。在教学过程中，老师要根据数学问题的来进行绘图，将抽象的文字表达转变成直观的图像，这样就可以迅速地找到问题中的要点，并以此来明确解决问题的思路[1]。

比如，以苏教版初中数学中的解决“二元一次方程组应用题”为例，首先建立一个可视化的模型，将两个地点的距离用直线地图显示出来，并分别标出 A、B、端点和 36 公里的全长。在中央预先设定交会的点 C，并以箭头指示 A（A → C）和 B（ B → C ）前进的方向。假设两个人的见面时间是 Δ X 个小时，第一个人走路的距离是 5 x 公里，B 走路的距离是 13x公里。由于两条直线相交时的距离之和就是整个直线的长度，所以直线A C + B C = A B 之间的定量关系用图解的形式表示出来。其次构建公式模式，从图表中抽取出“A、B 距离”的等式，也就是 5 x + 1 3 x = 3 6 ，这样就会让同学们对路程和的概念有了模糊的认识，从而使“时间 ∗ 速率 Σ= Σ 距离”这一简单的表达式，成为一个完整的定量关系。与单纯的解析相比，图表可以让同学们更快地找到最重要的问题，那就是当两个人在一起的时候，他们所走的距离是固定的。把绘图作为一种解题手段，同时也是训练其几何直觉和模型思维的一种方法，有助于使学生由“机械式的套用方程式”“转向可理解模式”，切实提高学生求解问题的水平[2]。

二、转化角度，以学生的角度思维问题

数学老师因为有很长时间的教育经验，所以对于一般的知识点和题目都非常熟悉，也就是说，只要见到一种题目，就能够找到解决的办法。在教育的时候，如果只教给学生解题的方式，而不去培养学生解决问题的能力，那就不可能让他们的数学思维能力得到发展。为了提高学生的思维水平，中学数学老师在教学时必须站在学生的立场上，用直观的方式与他们共同寻找解决问题的办法，从而避免“一猜就中”、“一证就对”这种情况发生，从而达到提高学生思维能力的目的。另外，通过变换视角，老师可以预先知道“问题解决”课程中学生有哪些问题，从而对学生提问作出相应的回答，而不忽视对学生思维能力的训练[3]。

比如以苏教版七年级上册第三章《代数式》中的第四课《合并同类项》为例，在遇到“ ”的时候，学生会感觉这些文字、数据就好像是一堆乱七八糟的积木，通过教师思维“整理书包”的方式，就会化繁为简，比如“2 个苹果 + 3 香蕉 -5 苹果香蕉”，学生们就会明白，要将两个水果分别计算，最终得出的结果是：（2-5）苹果 + （3+4）香蕉。用“2a+3b-5a+4b”来表示，无非就是用一个字母 a 代替“苹果”，用一个字母 b 代替“香蕉”。当学生再碰到含有平方项的时候，就会将它们分成几种形式：是圆，xy² 是三角形，将同样的图形围起来，就好像是在计算一块积木。比如， 3 0 ÷ 2 0 = 1 . 0 , 5 ÷ 4 = 1 ，方程就会变成 0 + Δ ，用它来表示的话，就是。用“先归类，后计数”的做法，让学生意识到，将所有项目组合在一起，就像是在整理房间和吃零食一样。用这样的方式面对比较难解的代数型，学生首先会想到做个表或是框，将类似的项目“搬家”到一块，这样就能减少计算误差。“化简”，其实就是把一团乱麻变清晰，就是像生活中整理物品一样让混乱变有序。

三、创设问题，激发学生兴趣

要发展学生的数学思维，首先要为他们创造一个好的氛围，初中的孩子们正处在青春期，他们对有趣的问题是非常感兴趣的。所以，在课堂上，老师可以把数学的知识点演变为有趣的小故事、小活动，用有直观趣的问题来增强数学的兴趣，使他们能在创造好的问题的情况下，进行主动的思维和锻炼[4]。

比如以苏教版七年级上册第 1 章《有理数的乘方》为例，教师把一张 0 . 1 m m 厚的纸对叠，每一次折叠时，纸的厚度就会增加一倍。对叠一遍后，厚度是 0 . 1 × 2 1=0 . 2 m m ，对叠两遍后，厚度是 0 . 1 × 2 2=0 . 4 m m ，之后对学生提问，对叠五遍后，厚为几公分？如果把它折叠十遍，那么它的厚度是否会比一栋大楼还要高（假定一栋三米高的楼房），根据定律，把它叠成 0 . 1 × 2 n m m ，也就是倍的话，0 . 1 × 2 1 0=0 . 1 × 1 0 2 4=1 0 2 . 4 m m=0 . 1 0 2 4 m∘ 以“折纸厚度”为例，让同学们认识到乘法“指数增长”的含义，并把握（ a =2 , n 为对折次数）的计算规律，加强对有理数乘法的运用。