贝叶斯公式图解及计算机模拟验证

摘要：贝叶斯公式是学生在概率论学习中的难点，也是痛点。本文用图解的方法直观呈现了公式计算的结果，是突破此难点的一个有益的尝试。引入信息技术，用Mathematica程序模拟实验，验证计算结果，可以帮助学生理解概率计算的本质——它是大量重复实验“均值回归”值，同时也提高学生学习的兴趣。本文选用“垃圾邮件处理”的例子，对高职学生难度适中，实用性强，是一个很好的教学素材。

关键词：贝叶斯公式，垃圾邮件处理，概率实验，Mathematica编程

一、问题提出

为设计一个高效精准的垃圾邮件判定程序，先要收集足够多的邮件进行汇总统计，统计的部分结果如下：

1．正常邮件占80%，垃圾邮件占20%。

2．垃圾邮件中出现敏感词“中奖”的概率为17%，正常邮件是1%。

设定80%概率以上是垃圾邮件要作标记或拒收，如果程序抓取到邮件中有敏感词“中奖”，程序是否进行处理呢？

二、问题分析与公式求解

此问题的关键是概率计算，就是要计算出现敏感词“中奖”的情况下，是垃圾邮件的概率是多少。这就要用到贝叶斯公式，贝叶斯公式本身是条件概率定义的扩展，但强调先验与后验的转化，而非单纯计算（P（A|B））。其核心在于利用新信息动态更新概率，而非静态描述事件关系。贝叶斯公式及求解过程如下：

1. 定义事件

设事件A表示“邮件是垃圾邮件”，事件B表示“邮件是正常邮件”，事件C表示“邮件中出现敏感词‘中奖’”。根据已知条件有：

P（A）=0.2，

P（B） = 0.8，

P（C|A）=0.17（在垃圾邮件中出现“中奖”敏感词的概率），

P（C|B）=0.01（在正常邮件中出现“中奖”敏感词的概率）。

2. 根据全概率公式（贝叶斯公式分母部分），求邮件中出现“中奖”敏感词的概率P（C）

3. 根据贝叶斯公式，即（1）式，求解出现了“中奖”敏感词是垃圾邮件的概率P（A|C）

当邮件中出现敏感词“中奖”时，该邮件是垃圾邮件的概率大于80%，所以程序需要进行处理。

二、贝叶斯公式图解

根据本人的教学经验，很多学生能硬套公式把以上结果求解出来，但是其中大部分不能理解贝叶斯公式的含义，怎么样才能让学生理解呢？答案是用图形求解出来，这里的图形指的是集合维恩（Venn）图，集合 Venn 图是一种用封闭曲线（通常是圆形或椭圆形）来直观表示集合以及集合之间关系的图形工具。此处用矩形封闭曲线更方便些，图解如图1所示。

图1中，边长为1的大正方形是全集，灰色部分及上面黑色部分是垃圾邮件集合A，白色部分及上面黑色部分是正常邮件集合B，所有的黑色部分是含有“中奖”敏感词邮件的集合C，它们分布在垃圾邮件与正常邮件里，占有的比例的多少就是两块黑色区域的面积大小。

公式求解的结果，用图解如下：

全概率公式计算，即（2）式，算的是黑色区域的总面积，两块面积的和为0.42。

贝叶斯公式计算，即（3）式，算的是灰色上方黑色区域面积在黑色区域总面积中的占比，结果约为0.81。

二、模拟验证计算结果

前面的计算结果，其实是一种预判，那它真实有效值得信赖吗？设计一个小程序模拟生成邮件，是可以验证上述计算结果的。

1．按17 % 比例出现 "中奖"，生成100份垃圾邮件子样本，数组{0，1}中第一位都是“0”，表示是垃圾邮件，第二位“1”表示是有“中奖”敏感词，“0”表示没有。

2．按1 % 比例出现 "中奖"，生成100份正常邮件子样本，数组{1，1}第一位都是“1”，表示是正常邮件，第二位“1”表示是有“中奖”敏感词，“0”表示没有。

3．从垃圾邮件子样本中，随机抽取2000份，再从正常邮件子样本中随机抽取8000份，生成10000份邮件样本，统计垃圾邮件及正常邮件中“中奖”邮件出现的频次。

4．重复第3步100次，并生成概率统计图表。

上述步骤用Mathematica 11.0编程实现如下：

输出结果生成图表，如图2所示，100次实验数据绕0.81的理论值上下波动，理论概率就是实验结果的“均值回归”值，理论计算结果得到了验证。

参考文献：

[1] 徐艳娇，许宏文，新课标下高中数学中贝叶斯公式及其应用的图解法，《数理化学习（高中版）》，2024年.04期.

[2] 陈立雯，挖掘数学思想 优化教学设计——以“全概率公式和贝叶斯公式”教学设计为例，理科考试研究.2024（17）.

[3][美]Cliff Hastings等，Wolfram Mathematica实用编程指南[M].北京：科学技术出版社2018：141-160.

[4]沈恒范，概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1995：12-28.