借助几何直观培养数感，让数感有形可依

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》[1] 强调数感是核心素养的关键。良好数感体现在理解数的意义、合理估算判断大小、用数表达交流信息及规律。数感有助于理解数与量的关系，感受数学表达的精确性，激发学习兴趣。然而，其抽象性导致真正具备数感的学生较少。如何找到一条可操作的培养路径？

新课标将“几何直观”列为“数学眼光”的核心内容。几何直观能将抽象数学知识形象化、通俗化，助力学生理解知识、形成思维习惯、提升解决问题能力。

“几何直观”与“数感”虽属不同领域，但利用图形直观表示抽象的数，能搭建通往数感的桥梁，化抽象为形象，加深学生对数的理解。更重要的是，几何图形能帮助学生在脑中建立相关模型，促使未来遇到类似问题时自觉运用图形思考，达到“自觉感悟”[2]。

本文以《花园》一课中“倍”的认识为例，从“借助直观图形”“结合直观演示”“依托图形特征”“建立直观模型”四个方面，阐述借助几何直观培养数感的策略。

一、借助直观图形，由“破”到“立”，孕育数感

前置任务一：用自己喜欢的方式画一画“15 是3 的5 倍”。

1. 出示作品1：标准量错误

生辨析：题目要求是 15 和 3 比，图中画成了 15 和 5 比（即“15是5 的3 倍”）。修改：将图中5 改为3，15 用3 个3 个圈表示。

小结：明确比较的两个量是核心。

2. 出示作品2：没有标准量

生补充上方 3 个圆。理由：没有画出“3”（即“1 倍量”），无法理解为何3 个3 个圈。小结：清晰呈现“1 倍量”是理解倍的基础。

3. 出示作品3：不同图形表示

生辨析：图形不同（如三角形与圆形），但表示的数量关系相同（三角形 5 个是 1 倍，圆形 15 个是 3 倍，故 15 是 3 的 5 倍）。生：也可用除法 15÷3=5 表示。小结：透过现象看本质，理解“倍”的核心是数量关系，与具体图形无关。

【思考】 利用前置作业呈现错例，借助直观图形对比辨析，由“破”到“立”，强化“倍”的本质含义。通过“想说什么？”“如何补充？”“可以吗？”等思辨性问题引导生生互动说理，在辨析中孕育数感，让“倍”的辨识灵动起来。

二、结合直观演示，再建多元表征，丰富数感

任务二：观察花园情境图解决问题

1. 蜻蜓（12 只）是蝴蝶（4 只）的几倍？

生1：以蝴蝶（小数）为标准。

生2（画图解释）：4 只圈一下，蜻蜓12 只圈了3 下，是3 倍。

生3（算式）： 12÷4=3 。

师生归纳：找小数（标准），看大数里有几个这样的标准，就是几倍。

2. 蜜蜂是小鸟（9 只）的3 倍，蜜蜂几只？

生1（画图）：小鸟9 只为1 份，蜜蜂画3 份。

生2（算式）： 3×9=27 （只）。

小结：利用“倍”的知识解决实际问题。

【思考】借助直观演示（画图），引导学生找到“标准量”，并通过多元表征（语言、图形、算式）充分理解“倍”。学生感悟到“倍”的思维图式源于“先定 1 份，再厘清几份”，本质是“一而多”的累加，认知结构由此立体稳固。

三、依托图形特征，培养批判思维，发展数感

任务三： 用方法表示“鸡的只数是鸭的3 倍”。

出示不同作品：如画3 只鸭 ⁺⁹ 只鸡；或2 只鸭 ⁺⁶ 只鸡。

讨论： 画得一样吗？

生1：数量不同，不一样。

生 2：思路一样！都是把鸭的数量作标准（1 倍），鸡画 3 个这样的标准（3 倍）。

优化：生提出用线段图（1 段表鸭，3 段等长的线段表鸡）。

辨析（教师故意画不等长线段）：

生齐反对：线段必须一样长（即标准要统一）！倍数表示几个相同的标准。

小结：深刻理解“倍”要求“几个一样的标准”。

任务四：举例说明“什么是2 倍”。

生举例（如：笑笑画片数是淘气的 2 倍；小猫数量是小狗的 2 倍；文具盒价格是本子的2 倍）。

师生归纳：倍是两个数量间的关系，以一个数为标准，看另一个数包含几个这样的标准。

【思考】依托图形特征（实物图、线段图），设计批判性问题（“一样吗？”“同意吗？”），促使学生透过表象（具体数量）抓住本质（数量关系不变）。

四、建立直观模型，明晰数量关系，建立数感

情境：花园原有蝴蝶 4 只（1 倍），蜻蜓 12 只（3 倍），新增喜鹊2 只。

问题：以蝴蝶（4 只）为1 倍，喜鹊（2 只）是它的几倍？

生1：4 只才1 倍，2 只不到1 倍（0 倍）。

生2：是蝴蝶的一半（1/2）。

生 3：是 0.5 倍。

生 4：是 1/2 倍。

教师：同学们的推理有理有据。具体是多少倍？将在后续学习中揭晓。

【思考】 此追问旨在引导学生基于直观模型（“1 份”的概念）突破“整数倍”的思维定势，自然感知“1 倍”与“半倍”（0.5 倍、1/2 倍）的联系，为后续学习分数、小数埋下伏笔。这体现了在建立直观模型的基础上，引导学生感悟更复杂的数量关系，发展抽象思维，真正建立和拓展数感。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部 .义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：85.

[2] 杨熠. 借助几何直观培养学生数感[J]. 教育实践与研究（A），2017，（09）：27-30.DOI：10.14160/j.cnki.13-1259/g4-a.2017.09.011.