基于Matlab的动态波包演化与量子干涉效应可视化

摘要：针对原子物理教学中高能态波函数抽象性强、多体关联效应可视化缺失等难题，本文提出一种基于Matlab的量子现象动态可视化教学方案。通过虚时间传播和分步傅里叶算法，构建氦原子双电子体系的动态演化模型，并以仲氦第二激发态为例，直观演示交变电场中波包的量子干涉现象。

关键词：仲氦、Matlab仿真、电子关联、量子干涉

在原子分子的研究中，传统解析方法如类氢原子模型、微扰理论等，仅能处理单电子或弱关联的理想系统[1-2]，而对多电子量子体系的电子关联效应、自旋-轨道耦合效应、动态Stark劈裂等复杂现象难以精确建模。在仅依赖数学推导的传统教学模式下，学生对波函数、叠加态、干涉等核心概念的认知存在显著断层，其根源在于量子概念的抽象性与经典物理直观经验的冲突，这亟需通过物理图像可视化工具突破传统教学瓶颈[3-4]。

针对这一瓶颈，本文提出数值仿真与动态可视化方案，使多体系统的电子排斥、能级劈裂、自旋关联等抽象效应转化为可交互的三维动态模型。在技术路径选择上，常用工具包括Matlab、Python、Mathematica等软件[5-7]。Python软件虽包含Qutip量子模拟库等，但学生需要一定的编程基础，且复杂三维可视化需要Mayavi等工具调试。Mathematica软件虽擅长解析解的可视化，但大规模数值计算时效率低。相比之下，Matlab软件主要适用于矩阵运算和信息处理领域的分析设计，它使用方便、输入简捷、运算高效，具有很强的公式推导、科学计算、模拟仿真和结果可视化功能[8]。

1、基于Matlab的电子波包仿真模拟

Matlab作为科学计算软件，在量子体系建模中展现出独特优势，其矩阵运算内核与符号计算工具箱可高效处理六维空间的氦原子两电子关联问题，同时GUI交互界面可支持动态观测波包干涉条纹演化。在求解定态薛定谔方程时，利用Matlab软件中FFT2/IFFT2函数可以得到能级结构，同时利用‌isosurface、surf、mesh等函数可以直观呈现电子波包、轨道角度分布等静态图象，以及原子散射、电子在电场中演化等动力学过程。这使得师生们能够从繁琐的数学计算和手工绘图中解放出来，将更多的精力放到对物理概念的理解和专业知识的获取上。基于Matlab模拟仿真，我们可以开展以下工作：

（1）、计算简单原子能级结构；

（2）、研究不同电场中波包的传播；

（3）、讨论强场中高阶现象及电子关联效应；

（4）、演示原子散射过程。

2、以“仲氦波包在交变电场中的传播”为例展示波包可视化功能

本文以氦原子为研究对象，利用虚时间传播法和分步傅里叶算法对含时薛定谔方程进行数值求解，高精度模拟仲氦高能态电子波包在交变电场中的动力学行为。

氦原子定态薛定谔方程可以写为：

采用虚时间传播法可以求解氦原子任意本征态和本征能量，其基本思想和变分法有点相似。在数值计算中，采用软核势替代库仑势，通过平滑势能曲率消除数值奇点。当波函数演化到空间边界时，采用Mask函数在边界上对波函数进行吸收，进而减少由边界反射的电子波包引起的计算误差。最后，数值求解含时薛定谔方程，演示仲氦第二激发态（）波函数在交变电场中的传播。其中，交变电场设置为：。

在交变电场驱动下，仲氦波包展现出复杂的动力学行为。随时间的演化，波包不断发生扩散，而不同时刻电离的电子波包因相位差会产生显著的动态干涉图样。相比于静态板书教学，动态可视化数值模拟弥补了传统教学中仅依赖数学公式推导的不足，帮助学生建立波包演化的动态物理图像，并增强了学生对波函数、能级跃迁、干涉、相位演化等量子概念的本质理解。

3、总结

本文针对原子物理教学中动态波包可视化缺失的教学需求，构建了基于Matlab的“数值仿真-动态可视化”教学模式，直观展示了仲氦第二激发态在交变电场中的量子干涉行为，实现氦原子双电子体系的动态演化建模。

参考文献：

[1]潘亚文，耿立升.基于高斯基展开法研究氢原子能级和波函数[J].大学物理，2023，42（5）：18-21.

[2]胡先权，胡文江，马勇.德拜势中类氢原子能级近似解析式与幂级数求解[J].原子与分子物理学报，2002，19（2）：7.

[3]李颖.大学物理实验数字化教学改革的探索[J].大学物理实验，2016， 29（4）：5.

[4]梁正良，王冠玉.基于Matlab平台下量子力学课改革与实践[J].化工高等教育，2024，41（05）：47-52.

[5]邵斌，贺黎明.基于MATLAB平台的量子力学三维图形设计及动画生成工具[J].大学物理，2005（011）：024.

[6]李瑞，曾繁明，秦杰明，等.基于Mathematica的波包模型演示实验[J].大学物理实验，2009，022（004）：72-74.

[7]王延忻，王宏娟，石玉仁，等.Python在结构化学可视化教学中的应用探索[J].大学化学，2024，39（3）：108-117.

[8]许继君，叶叶，闵存高.Matlab在分子动力学中的应用——Matlab实现的波包含时演化[J].湘潭大学自然科学学报，2011，33（2）：4.

基金项目：湖北师范大学教学改革研究项目2023052