高中数学经典习题与课堂教学融合研究

《普通高中数学课程标准 （2017 年版 2020 年修订 ）》指出，课程设计关注数学逻辑体系、内容主线与知识间的关联。[1] 根据新课程标准理念要求，教师要启发学生思考，实现教学在深度、宽度与广度进行适度的拓展。在高中数学课堂教学的过程中，经典习题是连接知识传授跟能力培养的重要脉络。采用将经典习题有序融入课堂教学各步骤，能让学生在解题期间深刻把握知识的来龙去脉，达成知识之间的全面关联，实现从被动领受知识至主动构筑认知的转变。

一、追本溯源，整体建构

数学知识有系统性，这就决定了经典习题不是孤立存在的，而是扎根在特定概念体系和定理逻辑中。追本溯源的关键在于去除习题的表面形式，挖掘它和基础知识之间的内在联系，通过整体构建，助力学生形成结构化的认知。这种认知方式不仅能够让学生明白解法的来龙去脉，还能培养其从知识根源分析问题的思维习惯，为之后的学习奠定逻辑基础。

以证明函数 f（x）=x³ 在 R 上是增函数这道经典习题为例。课堂一开始时，教师可以引导学生回顾函数单调性的定义，即设函数 y=f（x） 的定义域为I， 区 间 D 是 I 的 子 集， 如 果 对 于 任 意 的 x₁，x₂ ∈ D， 当 x₁<x₂ 时， 都 有f（x₁）<f（x₂），那么就说明函数 y=f（x） 在区间 D 上是增函数。之后，教师可以让学生尝试用这个定义进行证明，在证明过程中不少学生在作差变形 f（x₁）-f（x₂）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²） 的 时 候 碰 到 了 困 难， 很 难 判 断x₁²+x₁x₂+x₂² 的符号。这时候教师可以引入完全平方公式的变形，引导学生发现x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂/2）²+3x₂²/4， 进 而 确 定 它 恒 为 正。 在 学 生 掌 握了定义法之后，教师可以进一步提出问题，如：“我们学过的导数知识能不能用来判断函数单调性呢？”引导学生回忆导数与函数单调性的关系。学生通过求导得出 f’（x）=3x² ≥ 0，并且只有在 x=0 处导数为 0，这样就用导数法完成了证明。通过这两种方法的对比，学生能够清晰看到习题和单调性定义、导数应用之间的紧密联系，从而形成整体认知。

二、横向拓展，寻找关联

数学中的横向拓展是指在知识周围建立联系，即在本单元或跨章节中寻找联系并形成结构或模型，提升知识的关联度，促使学生深度学习的发生。[2] 经典习题的价值不只是围绕自身解法的训练，还体现在其作为知识节点展现的辐射功效。这类关联式学习可辅助学生理解数学知识的互通关系，增强知识迁移能力，同时体会数学在应对实际问题时的实用意义，增进学习积极性。

对于判断 f （x）=x³ 的单调性这一题来说，教师可以基于此，为学生提出拓展性的问题，鼓励学生的思维进行横向的拓展和关联。比如，学生掌握了基本的证明方法后，教师可以提出问题：“二次函数 y=X² 的单调性与三次函数 y=X³ 有何异同？”，引导学生对比二者在定义域内的单调性变化，进而总结幂函数单调性与指数奇偶性的关联。接着教师可以引入实际情境，如“某企业的利润函数为 L（x）=x³-3x+5（ Δ_X 为产量），如何根据函数单调性确定最优产量范围？”，学生要先判断函数单调性再结合实际意义分析，把抽象的单调性知识和经济问题相联系。此外教师还能引导学生思考该函数与不等式的结合，通过这些拓展学生不仅巩固了单调性知识还建立起与幂函数、实际应用、不等式的关联网络。

三、小牛试刀，检验成效

在新课程教学中，教师对例习题的琢磨与开发在一定程度上体现教师的教学智慧。因此，教师除了要选好例题外，还要结合学情与考情精选具有层次性的题组检测学习成效。[3] 这种检验方式能够让学生及时发现自身认知漏洞，同时也可以为教师调整教学策略提供依据，以此确保融合教学切实落到实处，真正提升学生数学素养与解题能力。

在完成关于 f （x）=x³ 的相关教学内容之后，教师可以着手设计阶梯式检验练习。例如，基础题：证明f 在R 上单调递增，以此考查学生对定义法和导数法的基本应用。中档题：给出已知函数 g（x）=x³-ax 在 [1，+ ∞ ） 上单调递增，求实数 a 的取值范围，要求学生综合运用导数与单调性的关系，并结合不等式恒成立知识进行求解。拓展题：结合生活情境给出某物体的位移函数为 s（t）=t³-3t²+2t（ t⩾0 ）分析物体的运动状态变化（加速或减速），需要学生将导数的物理意义（瞬时速度）与函数单调性相结合，判断速度变化趋势。对于练习中出现的共性问题，教师需要及时回归课堂教学补充相关知识点，从而实现检验与教学的二次融合，确保学生真正消化吸收所学内容。

综上所述，当经典习题实实在在和课堂教学进行深度融合后，学生学到的内容不是孤立且割裂的知识点与解题技巧。在开展这种融合教学的过程中，学生既掌握了证明函数单调性的具体办法，还能够将该方法和其他知识进行有效联结，依靠数学思维开展问题的分析与解决工作。随着对经典习题挑选以及融合途径的进一步探究，这种教学模式会更加切实地推动学生数学核心素养的提升，为高中数学教学注入全新的能量。

参考文献：

[1] 甘 志 国 . 谈 一 道 高 中 数 学 教 材 经 典 习 题 的 解 法 [J]. 中 学 数学 ，2022，（15）：8-10.

[2] 刘昱彤. 高中数学习题课教学设计研究[D]. 伊犁师范大学，2020.

[3] 卢亚平 .“变式教学法”在高中数学习题课中的研究与应用 [D]. 延安大学 ，2023.