高中数学中三角函数与平面向量的融合应用： 以向量数量积与三角函数求值结合为例

引言

在高中数学知识体系中，三角函数与平面向量分属代数与几何两大领域，但二者并非孤立存在。三角函数以角为核心，研究其函数性质与求值问题；平面向量则兼具代数的 “数” 与几何的 “形” 的双重特征，其数量积运算更是直接关联到角度与三角函数 —— 向量数量积的几何定义为 “两个向量的模长乘积与夹角余弦值的乘积”，这一本质属性使得二者的融合成为必然。在实际教学与解题中，单纯的三角函数求值问题往往依赖三角恒等变换公式，过程繁琐且容易出错；而平面向量的介入则能为这类问题提供直观的几何视角和简洁的代数运算路径。因此，以向量数量积与三角函数求值的结合为切入点，系统梳理二者的融合应用路径，对提升高中数学教学质量和学生的综合素养具有重要意义。

一、三角函数与平面向量融合的理论基础

（一）向量数量积的双重属性与三角函数的关联

向量数量积的定义包含代数与几何两个维度，这是其与三角函数融合的核心纽带。从代数定义来看，若向量 ，则数量积 ；从几何定义来看， ，其中 θ 的夹角 (0≤θ≤π) 。几何定义中的 直接将向量运算与三角函数概念关联，使得向量数量积成为连接 “向量的模、夹角” 与 “三角函数值” 的桥梁。

同时，三角函数的定义本身也可通过向量来表征。在平面直角坐标系中，角的终边上任取非零向量 ，则cos ，这一关系进一步强化了向量与三角函数的内在统一性，为二者的融合应用提供了理论依据。

（二）课程标准对融合能力的要求

《普通高中数学课程标准》在 “平面向量” 部分要求学生 “掌握向量数量积的运算，并能运用数量积表示两个向量的夹角”；在 “三角函数” 部分要求学生“能运用三角函数解决一些简单的实际问题”。二者的融合应用正是课程标准中 “提升数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养” 要求的具体体现。例如，利用向量数量积解决三角函数求值问题，需要学生同时调用向量的运算能力、三角函数的变换能力以及数形结合的思维能力，符合高中数学对综合素养的培养目标。

二、向量数量积与三角函数求值的融合应用案例分析

（一）利用向量夹角公式转化三角函数关系

向量数量积的几何定义是连接向量运算与三角函数求值的直接工具，尤其适用于已知向量坐标或模长，求夹角的三角函数值问题。

案例1：已知向量 ， ，求a·b的取值范围，并求当

解析：首先根据数量积的代数定义计算 ，利用三角恒等 =√1，解得sin(2x+)=1，进而得 2x + =

小结：该案例通过数量积的代数运算转化为三角函数表达式，再利用三角恒等变换求值，体现了 “向量运算→三角表达式→恒等变换→求值” 的融合路径。

（二）向量法解决三角函数问题案例

问题：在平行四边形 ABCD中，已知 ∣AB∣=2 ，|AD|=3，向量AB与AD的夹角为0，且AB ，求sin0和cos(20)的值。

向量解法：1．求cos0：在平行四边形中，AB与AD的夹角为0，根据向量点积公式：AB cosθ代入已知条件： 3=2× 3×cosθ ，解得 ，2.求sinθ：因为0是平行四边形邻边的夹角，故θ E(0,π)，由同角三角函数关系: sin²θ+cos²θ=1 。3.求cos(20)：利用二倍角公式 os(2θ)=2cos²θ-1 cos(2θ)=

课堂设计亮点： 1. 结合平行四边形模型，让向量夹角更直观； 2. 从点积到三角函数值，再到二倍角公式，层层递进； 3. 可延伸提问：若求平行四边形面积，如何用向量表示？ 通过向量工具，将几何图形中的角度关系转化为代数运算，降低了构造辅助线的难度，体现向量法的简洁性。

三、三角函数与平面向量融合教学的建议

（一）强化知识关联，构建整体认知

在教学中，教师应主动梳理三角函数与平面向量的关联点，例如在讲解向量数量积时，结合三角函数的定义引入夹角公式；在讲解三角恒等变换时，通

过向量例题展示运算转化的方法。可借助思维导图等工具，将 “向量的模、数量积、夹角” 与 “三角函数的定义、恒等变换、求值” 等知识点串联，帮助学生形成整体性的知识网络，打破 “模块孤立” 的思维局限。

（二）注重例题设计，渗透融合思维

例题设计应突出跨模块特征，多选取如 “利用向量求三角函数值”“通过三角关系解决向量问题” 等融合型题目。在解题教学中，要引导学生分析 “为什么可以用向量方法解决三角问题”“向量运算如何转化为三角运算”，让学生理解融合的本质而非单纯记忆解题步骤。同时，鼓励学生尝试一题多解，对比单纯三角方法与向量融合方法的优劣，体会融合应用的简洁性。

结论

三角函数与平面向量的融合应用，尤其是向量数量积与三角函数求值的结合，是高中数学知识整体性的重要体现。向量数量积的双重属性为二者的融合提供了理论基础，其与三角函数求值的结合主要表现为 “利用夹角公式转化关系”“借助垂直平行条件构建方程” 等路径。在教学中，通过强化知识关联、优化例题设计、聚焦核心素养，可帮助学生掌握融合应用的方法，形成跨模块的思维迁移能力。未来的教学还可进一步拓展融合的深度与广度，例如将向量与三角函数的融合延伸到解三角形、函数性质研究等领域，让学生在更广阔的知识背景下体会数学的统一性，为后续学习和问题解决奠定坚实基础。

参考文献

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