问题链引领下的探究式教学

国务院办公厅《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》（国办发〔2019〕29 号）第（十）条深化课堂教学改革中指出：“积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学方式——”。2023 年 5 月，教育部办公厅印发《基础教育课程教学改革深化行动方案》，其中提到，“要示范带动广大教师变革教与学方式，尊重学生主体地位，发挥教师主导作用，注重启发式、互动式、探究式教学，克服单纯教师讲学生听、教知识学知识等现象，引导学生主动思考、积极提问、自主探究。”基于国家课堂教学改革政策的引领，我以问题设计为引领，在探究式教学上做了长时间的探索与实践，现以高中数学人教 A 版选择性必修第二册《函数的单调性 （ 第1 课时）》的教学设计为例进行阐释。

一 . 为便于大家了解本节课的教学设计，我把本节课及其所在单元的教学内容解析如下。

（一）单元教学内容及解析

（1）单元教学内容。本单元包含函数的单调性、函数的极值与函数的最大（小）值三部分内容。

（2）单元教学内容解析。本单元是《一元函数的导数及其应用》的第三单元 ， 导数的应用是本章的一个重要内容，也是导数的概念和导数的运算学习的深化与应用。函数的单调性、极值与最大（ 小） 值是函数的重要性质，也是用函数研究客观世界中运动变化规律的表现所在 . 在必修第一册中，教科书给出了函数的单调递增 （ 递减 ）、函数最大（ 小） 值的定义，并用定义研究了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的单调性与最大 （ 小 ） 值 ， 学生对函数的单调性、最大 （ 小 ） 值有了一定的了解。

本单元借助具体实例，通过观察函数图象的升降，并利用导数的几何意义建立函数的单调性与导函数的正负之间的关系 ; 在此基础上，通过考察导数在导函数零点两侧正负性的变化情况给出函数极值的概念及其求法，并进一步研究闭区间上连续函数的最大 （ 小 ） 值 ; 最后利用导数研究函数的单调性、极值与最大（ 小） 值的综合性问题，以及简单的优化问题，体现数学运算在数学证明中的重要意义与作用，进一步发展学生的数学运算素养、逻辑推理素养。

（二）课时教学内容及解析

（1）课时教学内容。函数的单调性与导数的正负之间的关系，利用导数的正负性判断函数的单调性。

（2）课时教学内容解析。本节课选自人教 A 版高中数学选择性必修二第五章《一元函数的导数及其应用》的第三节《导数在研究函数中的应用》第 1 课时，主要学习利用导数研究函数的单调性。学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性，但对大多数函数而言，直接画出其图象不是一件容易的事情，至于根据定义去判断函数的单调性，其中含字母的代数式值的大小比较通常较困难，所以也不是通性通法。本节之前学习到导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，因而可以把函数单调性的判断问题转化为导数的运算问题，具体通过函数导数的正负判断出函数的单调性，这种方法在解决函数的单调性问题时具有普适性、通用性。

本节就高台跳水问题，考察运动员的重心相对于水面的高度函数的单调性与导数的正负间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负之间的关系；进而，体会从具体到抽象，从特殊到一般的过程，概括出共性规律，给出一般可导函数的单调性与导数的正负之间关系的普适性结论；最后利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间。

蕴含的数学思想和方法：通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想。利用函数的导数及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题，转化为步骤明确的运算问题，这又蕴含了重要的数学运算思想。用导数研究函数的单调性，对于培养学生利用函数模型描述客观事物的变化规律有着重要意义，是提升学生的数学运算与数学建模素养的很好的载体。

二 . 问题引领下的探究式教学设计。

（一）学情分析及问题诊断

在本节之前，学生已经学习到导数概念、导数几何意义、导数的四则运算等导数相关知识，并且在必修一中已经对函数单调性有一定的认识，如可以利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性。因此具有用导数研究函数单调性的基本知识储备。

但由于学生没有学习过拉格朗日中值定理，不能严格证明用导数正负判断函数单调性的一般结论，这是本节课的教学难点之一。为了克服这一难点，本节借助本章一以贯之的高台跳水案例图象，使学生在熟悉的情境中观察到函数的单调性与函数导数的正负之间具有密切关系。接着，我让学生结合更多具体函数如一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图象进行几何直观，联想导数的几何意义进行解释说明，完成从特殊到一般的发现过程，我借助息技术工具帮助学生观察、发现、理解结论。另外，利用导数判断函数的单调性时，会遇到导数在某个区间上存在零点，但函数在这个区间上仍然是单调递增（或递减）的问题（如），对于这一难点，我在教学时引导学生去充分辨析用导数正负判断函数单调性这一结论具有充分性，并举出具体实例的图象帮助学生区别与理解。

（二）教学策略分析

在教学设计中，我采取问题引导方式来组织课堂教学 . 问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点 . 在教学过程中，我重视注重与实际的联系，利用学生的已有知识与经验创设丰富的情境，为学生提供脚手架。

（三）学习方法分析

我采用了引导学生自主探究学习、小组合作探究学习、展示讨论等学习方法。

（四）教学过程及设计分析

1. 问题引入新课

出示函数单调性的定义与平均变化表达式的比较，可以看到函数的平均变化率与其单调性密切相关 . 引导学生进一步猜想：函数的瞬时变化率（即导数）与其单调性也密切相关！

设计意图：借助两个已有知识之间的联系，为新知学习打开思路。

2. 情境导入主题， 进入探究一。

以世界冠军全红蝉跳水图片为背景，激励学生学习世界冠军的优秀品质，进入探究一：如图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象，图（2）是跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数的图象. 提出问题：（1）运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？（2）如何从数学上刻画这种区别？

师生活动：学生思考，教师讲解.

设计意图：通过熟悉的问题，引导学生思考、探究，进而引入新课：利用函数的求导来研究函数的性质 . 发展学生数学抽象、数学建模的核心素养.

3 探究一：从以上观察中发现，函数的单调性与导数的正负有内在联系. 那么，我们能否由导函数的正负来判断函数的单调性呢？

师生活动：学生思考，教师讲解.

设计意图：通过前面的问题，进一步引导学生思考、探究导函数的正负与原函数的单调性的关系 . 发展学生数学抽象、数学建模的核心素养 .

4 设置追问1：能否由 h'（t） 的正负来判断函数h（t） 的单调性呢？

启发学生猜想：任意一个函数，你能否由导数正负推出函数单调。

5 进入探究二：观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.

师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师完善.

设计意图：让学生结合一次函数、二次函数、三次函数和反比例函数的图象（直观），探讨函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，进一步感受可用函数的导数的正负来判断函数的单调性.

6 继续探究：引导学生从已学习的基本初等函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，进一步验证上述结论。从而更广泛地归纳出大概念：函数导数的符号决定函数的单调性。

7 探究三：从导数的几何意义探究结论的正确性。

教师讲解：如下图，导数表示函数的图象在某一点处的切线的斜率 .

可以发现：

在 x=x₀ 处 f^′（x₀）>0 ，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增；

在 x=x₁ 处 f^′（x₀）<0 ，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减.

结论：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：在某个区间 （a，b） 上，如果 f^′（x₀）>0 ，那么函数在区间上单调递增；在某个区间 （a，b） 上，如果 f^′（x₀）<0 ，那么函数在区间上单调递减.

8. 设置三道思考题，让学生在小组内探究，然后每组选择一名代表发言。

思考 1：如果在某个区间上恒有 f ′（x）=0 ，那么函数 f （x） 有什么特性？

思考 2：存在有限个点使得f ， 其余点都恒有 f '（x）>0 ， 则 f（x）有什么特性？

思考 3：在区间 （a，b） 内，f '（x）>0 是函数 y=f（x） 在区间 （a，b） 内单调递增的什么条件？

设计意图：让学生辨析导数的正负决定函数的增减的大概念，增强概念理解的深刻性。

9. 提炼升华。

总结研究问题方法，目的是提升学生学习能力和会研究的思想。

10. 概念应用（1）。

例1 利用导数判断下列函数的单调性：

（1） f（x）=x³+3x ；（2） ）f（x）=sinx-x ， ；（ .

师生活动：教师讲解第（1）个题，规范步骤。

学生做后两个，其中第三个由一位学生上台板演。然后分组讨论。设计意图：通过具体函数，体会研究导数判断函数单调性的基本原理，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养 . 第三个易错，如果板演学生出错，可作为教学资源分析单调区间的书写规范，不能用并集符号。

11. 方法总结。

引领学生归纳出用解不等式法求单调区间的步骤：

（1）确定函数 f（x） 的定义域；

（2）求导函数f ′（x） ；

（3）解不等式f ∵（x）>0 （或f χ^′（x）<0 ），并写出解集（4）根据（3）的结果， 确定函数f（x） 的单调区间。

12. 探究追问：你还会用你高一学过的判断函数单调性的方法来判断例1 中函数的单调性吗？

设计意图：总结导数是研究函数单调性的基本工具，导数法具有

普适性、通用性。

13. 概念应用（2）。

例 2. 已知导函数 f^′（x） 的下列信息，试画出函数 f（x） 的图象的大致形状。

当 10 ;

当 x>4 ， 或 x<1 时 ， f ^′（x）<0 ;

当 x=4 ， 或 x=1 时 ， f^′（x）=0 .

师生活动：学生分组讨论，各组派代表回答，教师完善.

设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握运用导数判断函数单调性的步骤和方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养.

14. 当堂检测

设计意图：设计两道针对性问题，便于发现问题，检测效果，改进教学。

1. 判断下列函数的单调性：

f（x）=x²-2x+4Γ;（2）f（x）=e^Γ-X.

2. 函数 y=f（x） 的图象如图所示，试画出函数y=f^′（x） 图象的大致形状.

15. 回顾总结，提炼收获。

设计两个问题：

（1）本课时，我们经历了从哪些路径归得到用导数法判断函数的单调性的大概念？在此过程中渗透了哪些数学思想方法？

（2）在数学史上，微积分的创立具有划时代的意义，导数是微积分的核心内容之一，结合本科时的学习，你能谈谈导数是如何定量刻画函数的变化的？

学生活动：学生思考后提问，教师完善。

设计意图：提炼思想，升华认识。

16. 布置作业

必做题：

1. 课本第 87 页练习第 2 题

2. 课本第 97 页习题 5.3 第 1 题

选做题：课下搜索有关拉格朗日中值定理的内容，借助拉格朗日中值定理进一步理解导数法判断函数单调性。

设计意图 ： 既有巩固性作业，又有拓展提升性选择作业，为不同层次学生提供学习机会

三 . 教学评价

评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程，还要关注数学素养的达成等 . 本节课对学生学习效果及教师自身教学效果的评价，围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅的原则进行.

在课堂教学过程中，从学生的参与程度、概括能力、推理能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习进行评价。通过观察，对学生的学习过程进行评价，包括学习态度、参与小组合作学习的积极程度（是否能积极进行思考、表达自己的想法、倾听别人的想法并提出意见和建议）、能否理解并有条理地表达数学内容等方面进行评价。

我上完本节课后，对学生评价如下：

这节课，学生学习态度总体很好，多数学生积极参与教学活动；对于老师提出的问题多数学生能积极进行思考，并表达自己的想法，部分学生还能提出问题；绝大多数学生小组合作学习积极；多数学生理解并能有条理地表达数学内容；本节课后我找部分学生调查了解，多数学生经常对自己学习中的情况进行反思，本节课也是如此，课下调查学生，极个别学生对导数判断函数单调性的大概念能理解，但认识不够深刻，特别是对课下作业选做题学习有点困难，需要对部分中等生予以单独指导。

参考文献

1. 国务院办公厅 .《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》（国办发〔2019〕29 号）[Z].2019。

2. 教育部办公厅 .《基础教育课程教学改革深化行动方案》（2023年5 月印发）。

3. 人民教育出版社. 普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者简介：张双库，山东省特级教师，正高级教师，研究方向为数学教学。山东省菏泽第一中学数学教师，学校学术委员会秘书长，菏泽学院客座教授，菏泽市专业技术拔尖人才，菏泽名师。