基于单元整体的一次函数教学设计探析

一、单元内容和内容解析

1. 内容本质

初步体验研究函数的一般步骤及方法，了解函数与方程的关系。整章教学中渗透模型思想、符号意识、数形结合的思想。由正比例函数到一次函数的学习，让学生体会数学的学习其实可以通过类比之前的学习方法获得，从而达到学会学习。

2. 知识的前后联系

学生学习了变量之间的关系、位置与坐标等知识上进行的，函数可以看着一种特殊的变量之间的关系：即在两个变量（x，y），若自变量 x 确定，因变量 y 也随之被唯一确定，坐标系把表达式中的数在图象中直观呈现，体现数形结合的思想。使学生了解函数的研究方法，为以后函数学习打下基础。

3. 育人价值

通过本章的学习让学生真正体会到，现实生活中的一些因与果是可以用数学学科来解决的。教学主要体现了几何直观、数形结合思想、抽象能力、模型观念、符号意识、应用意识等核心素养。

4. 教学重点

① 对函数概念的理解及其常见的 3 种表示方式； ② 一次函数与正比例函数的一般形式； ③ 画一次函数图象，根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标； ④ 应用图象解决实际问题。

二、目标和目标解析

1. 目标

从实际背景中抽象出函数的概念的过程，发展学生符号意识，并把函数进一步具体化— 一次函数，于一次函数为例展开本章的教学。能根据题目所给条件写出一次函数表达式；在经历画一次函数图象的过程中，通过画函数图象来探索 k、b 对图象的影响，反之能判断 k、b。发展数形结合的意识和能力；达到掌握一次函数的性质；经历一次函数表达式的确定，初步体会函数与方程的联系； 经历从图象中获取有用信息的过程，用一次函数视角下图分析图象、解决简单实际问题，发展几何直观。

2. 目标解析

学生对实际问题的关系式中，知道谁是常量、变量及其意义，提高学生的抽象能力；并根据函数的概念，能判断两个变化的量是不是函数关系，知道函数常见的几种表示方法；学生能根据一次函数的模型，快速判断是否为一次函数或正比例函数，发展学生模型意识；学生能根据所给条件求表达式；由两点确定一条直线，可转为两个点坐标可画出一次函数图象，再利用图象探究一次函数的增减性与 k 的关系，及增减性所对应的图象特征，系数 k、b 对图象的影响；学生能从所给的条件中直接获得一个参数（k 或 b），从而转化成求一元一次方程问题；学生能综合运用一次函数知识解决有关实际问题，并认识到一次函数的表达式、图象在直角坐标系中的互相转化对等关系，发展学生数形结合解决问题的能力。

三、教学问题诊断分析

1. 问题诊断

结合知识间的关系，以及大部分初中阶段学生的身心特点和思维水平，对于抽象、模型、数形结合等思想还处于萌芽阶段，符号意识和应用意识仍然薄弱，也缺乏整体性和系统性。基于以上分析，确定本单元的教学问题如下：

① 函数概念的构建； ② 从具体情景中列出相应的一次函数表达式；③ 参数（k 和 b）对一次函数图象的影响； ④ 对一次函数图象实际意义的理解。

教学问题 1 突破：从函数的概念出发，以具体的实例为背景对概念进行直观教学。如游乐园的摩天轮、以及热力学温度与摄氏温度的关系等实例。

教学问题 2 突破：在充分了解学生学习状况的基础上，做好铺垫，采用从特殊到一般，即由熟悉情景到较复杂情景的研究路径进行突破。

教学问题 3 突破：帮学生回忆七年级学习过的从图象提取信息的一般思路，上一章又学习了“坐标与位置”可借助图象研究参数对一次函数图象的影响，从而得到一次函数的性质，体会数形结合的思想，发展学生几何直观

教学问题 4 突破：读懂题意，结合图象理解横纵坐标的实际意义，特别是图象与纵坐标的交点（0，b）、图象与横坐标的交点（ ）所表示的意义；而对于 k 可理解为自变量 x 的变化值一定时，因变量 y值变化快慢，来分散难点。

四、教学设计

环节一：回顾旧知，引出新知

1. 知识回顾

问题：常见的函数表示方法有？一次函数和正比例函数的形式是？

追问：表达式是数的形式出现，若要更直观呈现函数，如何用图象来表示？

设计意图：巩固一次函数与正比例函数的概念，明确要直观，需要借助函数图象来研究。

2. 给出函数图象定义

环节二：动手操作，发现特征

探究 1：怎样作出正比例函数 y=2x 的图象？

问题 1：结合函数图象的概念，你觉得作图的步骤有哪些？

预设：学生会回答先建直角坐标系，容易忽略列表，直接描点连线 .

追向：如何知道描哪些点呢？怎么找到这些点？

设计意图：根据定义学生先自行思考作图步骤，教师在黑板上演示画图过程，起到示范性作用，并指出易错遗漏点，归纳作图步骤。

问题 2：观察正比例函数 y=2x 的图象的形状是怎么样的？

预设：学生通过观察不难发现图象的形状是一条直线

追问：有没有办法能验证图象是一条直线呢？

师生活动：教师引导学生通过点的加密作出更多的点，并结合几何画板软件加以证明。

问题 3：下列哪些点在正比例函数了 y=-5x 的图象上？两点确定一条直线，是否可以用两个点坐标来画出正比例函数的图象呢？（1，5），（-1，5），（0.5.-2.5），（-5.1）

师生活动：学生快速完成小练，教师提问，学生回忆初一所学知识点得出结论 .

设计意图：加深学生对函数图象与点一一对应的理解，巩固知识通过回忆初一所学知识点“两点确定一条直线”，明晰简便画法。

环节三：自主探究，合作交流

活动：在刚才的直角坐标系中继续画出 y=X 和 y=-0.5x 的图象 .

师生活动：由于 y=-3x、y=2x 图象己经画出，学生再根据简便作法迅速画出另外 2 个图象，教师投影展示学生的作图情况 .

问题 4：四个函数图象有何共同点？四个函数图象有何不同点？

追问：在函数 y=2x 和 y=X 中，y 都随着 σ_X 的增大而增大，其中哪一个增加得更快？

在函数 y=-3x 和 y=-0.5x 中，y 都随着 σ_X 的增大而减小，其中哪一个减小得更快？

师生活动：学生自主探究合作交流，教师从旁个别指导，最后进行知识的归纳总结。

设计意图：通过对图象的进一步观察与比较，增强学生自主探究、合作交流的意识，提高探究问题的能力，同时借助图象的直观性，发展几何直观，提高解决抽象数学问题的能力。

环节四：知识梳理，总结提升

. 如何画出正比例函数图象？有哪些注意事项？

2. 正比例函数的图象是什么？我们从哪些方面对它进行研究？

五、结束语

总之，单元整体教学设计的目的在于课程内容结构化，以学科核心素养指导，易于学生理解数学内容，积极思考数学问题，发散数学思维，课程的设计要服务真正减轻学习负担，同时为学生提供一个自我挑战、自我组织、自我学习的学习环境。从而促进学生数学素养的发展与形成，促使学科素养的落地。

参考文献

[1] 刘永东 . 基于大概念的初中函数主题教学设计探析 [J].《福建基础教育研究》- 2022（12）：47-49