高中数学函数教学难点及突破方法

引言

高中数学函数部分不仅是数学学科的核心内容，也是学生数学能力发展的重要标志。由于函数概念的高度抽象性、图像变换的复杂多变以及实际应用问题的广泛联系，使得函数教学成为高中数学教学中的一大挑战。许多学生在面对函数学习时感到困惑，难以把握其本质规律，导致学习效果不佳。

一、高中数学函数教学的难点

其一，函数概念具有高度抽象性，学生难以对对应关系以及定义域、值域形成动态理解 f(x)=x² 与 f(x+1)=x² ，因抽象的对应关系不同，常使学生混淆。其二，在图像与性质综合应用方面，分段函数、绝对值函数图像的绘制与变换，以及单调性、奇偶性在代数与几何层面的结合运用，对学生思维要求高，颇具难度。其三，复合函数与反函数部分，函数套函数的逻辑复杂 f(g(x)) 定义域的求解，学生极易出错；反函数存在条件及与原函数图像的对称性 y=e^x 与 ，也让学生理解困难。其四，实际应用建模中，从文字描述构建函数关系，像利润最大化、运动轨迹这类问题，需要学生具备较强的抽象概括能力，同样是教学难点所在。其五，对勾函数难点在于双曲型图像渐近线、极值点及分段单调性，学生易因忽略定义域分段或混淆极值与最值出错。双绝对值函数核心难点是临界点划分及几何意义理解，学生常机械分段，缺距离和最小值的几何直观认知。

二、高中数学函数教学难点的突破方法

（一）概念理解突破法

教学时引入生活实例，把抽象概念具象化。以水电费计费为例，用电量或用水量是自变量，费用是因变量，不同的计费标准就是对应关系。学生能直观看到定义域、值域以及对应关系的实际体现，从而深刻领会函数三要素。针对学生易混淆的函数，像 f(x)=x² 与 f(x+1)=x² ，教师要进行详细对比剖析。对于 f(x)=x² ，自变量就是 (x) ；而对于 f(x+1)=x² ，设(t=x+1) ，则函数可写成 f(t)=(t-1)² ，这里自变量实际是 (t)，也就是 (x+l) 。通过这样细致的对比，能强化学生对函数对应关系和变量的精准认知，有效克服概念抽象带来的学习阻碍。

（二）图像与性质应用突破法

对勾函数 的教学，结合物理中力与速度的关系或经济学中成本与产量的优化问题，如某工厂生产零件，固定成本为 1 万元，每生产 x 千件的可变成本为 σ_X 万元，同时因设备损耗，每千件的边际成本为 万元，总成本函数为 （ x>0 ）。引导学生分析定义域（ x≠0 ）、奇偶性（奇函数，关于原点对称），并通过列表计算 等值，观察函数值变化规律，理解对勾形状的成因。利用几何画板展示 （ k>0 ）中 k 变化对图像开口宽窄的影响，对比 k=1 与 k=2 时的极值点差异，总结对勾函数在 σ_X>0 时的最小值为 （当且仅当 时取得），强化均不等式 的几何直观。

（三）对数函数专项突破法

对数函数教学的核心难点在于图像特征与底数关系，教师可以利用几何画板动态调节底数 a 的值从 0.1 逐渐增大到 10，让学生清晰地观察到：当 a>1 时函数在 (0,+∞) 上单调递增；当 01 ），图像在 x>1 部分越平缓（增长越慢）；在 01 部分越陡峭（下降越快）；在 0aX 与 的图像关于 σ_X 轴对称。

（四）复合与反函数突破法

在复合函数教学中，构建清晰的逻辑链条至关重要。以求解 f(g(x)) ）定义域为例，教师要引导学生从内到外进行分析。确定 g(x) 的定义域，然后依据 f 函数对自变量的要求，确定 g(x) 的值域范围，进而得出 x 的取值范围。若 f(x) 的定义域为 [1,3]， g(x)=3x-2 ，那么就有 1≤3x-2≤3, ，解这个不等式，得到 ，这就是 f(g(x)) 的定义域。对于反函数通过实际例子讲解存在条件， y=X² 在整个实数域 R 上不存在反函数，但在[0,+∞ ) 上存在反函数，让学生明白一一对应关系的重要性。利用图像软件展示原函数与反函数图像关于 y=x 对称，引导学生从点的对称关系去深入理解，帮助学生突破这一教学难点。

（五）实际应用建模突破法

为帮助学生克服实际应用建模的难题，教师应引导学生从简单问题入手，逐步培养建模思维。以行程问题为例，给出具体情境：甲、乙两人相距一定距离，同向而行，速度已知，求甲追上乙所需的时间。让学生分析题目中的变量，如路程、速度、时间，确定它们之间的函数关系（路程差 Σ=Σ 速度差 × 时间）。对于利润最大化问题，如某商品进价、售价已知，成本与销售量存在某种关系，求最大利润。教师可引导学生设销售量为 x ，表示出成本、销售额，从而得出利润函数，再利用函数性质求解最值。通过大量类似的练习，让学生熟悉从文字描述到构建函数关系的流程，积累不同类型问题的建模经验。

结束语

综上所述，高中数学函数教学虽困难重重，但通过对概念、图像与性质、复合及反函数、实际应用建模等方面难点的深入剖析，并采取切实有效的突破策略，能够显著改善教学效果。在教学实践中教师需不断创新教学手段，注重引导学生从多元视角理解函数知识，逐步培育学生的抽象思维、逻辑推理和数学建模能力，助力学生跨越函数学习的阻碍，为其未来数学学习和实际应用筑牢根基。

参考文献

[1] 火扬蔺 . 基于深度学习的高中函数教学路径探索 [J]. 试题与研究 ,2023,(26):55-57.

[2] 刘跃鑫 . 高中数学函数与导数教学中培养学生逻辑推理素养的实践研究 [J]. 数学学习与研究 ,2023,(18):120-122.

[3] 胡硕芳 . 基于数学建模素养的高中函数教学设计研究[D]. 西南大学 ,2023.