平面几何中辅助线添加的规律与实例探究

引言：平面几何作为数学学科的重要组成部分，其问题解决往往需要借助辅助线来揭示图形中的隐含关系，将复杂问题转化为简单问题，辅助线的添加并非随意为之，而是遵循一定的规律和方法，本文旨在系统探究平面几何中辅助线添加的规律，并具体实例分析其应用，为几何教学和学习提供参考。

一、辅助线添加的规律

（一）按定义添加辅助线

按定义添加辅助线是最基础的方法之一，比如在证明两条直线垂直时，可延长这两条直线使其相交，然后证明交角为 90^∘ ° ；在证明线段的倍半关系时，可倍线段取中点或半线段加倍；在证明角的倍半关系时，也可采用类似的方法，这种方法直接基于几何定义，简单直观，易于理解和应用。

（二）按基本图形添加辅助线

每个几何定理都有其对应的基本图形，当图形中基本图形不完整时，可添加辅助线补完整基本图形。

1、平行线：当几何图形中出现平行线时，添加与这两条平行线都相交的第三条直线是关键，比如若已知一组平行线被一条斜线所截，要求证相关角的关系，可添加另一条与这两条平行线都相交的直线，构造出同位角、内错角或同旁内角，进而利用平行线的性质进行证明。

2、等腰三角形：若几何问题中出现一点发出的两条相等线段，往往需要补完整等腰三角形，比如已知等腰三角形底边上的中点，可添加底边上的中线，利用等腰三角形三线合一的性质进行证明。

3、直角三角形：直角三角形中，斜边上的中线具有特殊性质，当出现直角三角形斜边上的中点时，可添加斜边上的中线，得到直角三角形斜边上中线的基本图形，进而利用其性质解决问题。

（三）根据图形特点添加辅助线不同的几何图形具有不同的特点，可根据这些特点添加辅助线，

1、三角形：在三角形中，若已知中线，常将中线加倍；若已知角平分线，常以角平分线为对称轴，构造全等三角形；若结论是两线段相等，常画辅助线构成全等三角形或利用平分线段的定理，比如在证明三角形中两条线段之和等于第三条线段时，可采用截长法或补短法，截长法是在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，然后证明余下的线段等于另一条较短线段；补短法是延长较短线段，使其与较长线段相等，然后证明延长后的线段等于另一条线段。

2、四边形：对于平行四边形，可连对角线或平移对角线，过顶点作对边的垂线构造直角三角形，连接对角线交点与一边中点或过对角线交点作一边的平行线构造线段平行或中位线等；对于梯形，可平移一腰、作高、连接顶点与腰的中点等方法将梯形问题转化为平行四边形或三角形问题来解决。

3、圆：在解决与圆有关的问题时，若已知弦，可作弦心距；若已知直径，可作直径所对的圆周角；若已知切线，可连结过切点的半径；若两圆相切，可作公切线或连心线；若两圆相交，可作公共弦。

（四）根据命题条件添加辅助线

审清题意后，根据已知条件确定要使用的性质或定理，然后根据这些性质或定理的特点添加辅助线，比如若已知条件中涉及角平分线和平行线，可延长平行线与角的两边相交，构造出等腰三角形；若已知条件中涉及线段中点，可过中点作平行线或延长中线构造全等三角形。

二、辅助线添加的实例探究

（一）例1 ：已知在 Δ ABC 中， AB=AC，D 是BC 的中点，E 是AD 上的一点，求证： BE=CE 。

分析：本题已知条件中有等腰三角形和中点，可根据等腰三角形三线合一的性质添加辅助线，连接 BE、CE 后，由于 AB=AC ，D 是 BC 的中点，所以AD 垂直平分 BC，又因为 E 在 AD 上，根据线段垂直平分线的性质，可得 BE= CE。

例2 ：已知在 Δ ABC 中， ∠BAC=120^∘ ， AD 是 ∠ BAC 的平分线，求证： 作AC AD

分析：本题结论涉及线段倒数的关系，直接证明较为困难，可在AB 上截取AE=AD ，连接 DE，构造全等三角形，因为 AD 是∠BAC 的平分线， ∠BAC= 120^∘ °，所以 ∠BAD=∠CAD=60^∘ ，又因为 AE=AD ，所以 Δ ADE 是等边三角形，可得 DE=AD ， ∠AED=60^∘ °，然后证明 Δ BDE 与 Δ ADC 全等，进而得到BD = CD，再等量代换和线段关系推导出​ 。

（二）四边形中的辅助线添加实例

例 3 ：已知在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，求证：四边形AEFD 是平行四边形。

分析：本题可根据平行四边形的定义和性质添加辅助线，连接 AC，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB ∥ CD， AB=CD ，又因为 E、F 分别是AB、CD 的中点，所以 AB， CD，可得 AE=DF ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证明四边形AEFD 是平行四边形。

例4 ：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC，E 是AB 的中点，求证： 2DE +

分析：本题可延长 DE 交 CB 的延长线于点 F，构造全等三角形，因为AD ∥ BC，所以 ∠A=∠ EBF，又因为 E 是 AB 的中点，所以 AE=BE ，在Δ ADE 和△ BFE 中，根据 ASA 定理可证明 ΔADE≅Δ BFE，可得 DE=EF ，AD=BF ，在 Δ DCF 中，根据三角形三边关系，可得 DF

（三）圆中的辅助线添加实例

例5 ：已知在圆O 中，AB 是直径，C 是圆上的一点， ∠ABC=30^∘ ，求证：AC =BC 。

分析：本题可根据圆的性质和直角三角形的性质添加辅助线，连接AC，因为AB 是圆O 的直径，所以 ∠ACB=90^∘ ，又因为 ∠ABC=30^∘ ，根据在直角三角形中， 30^∘ 角所对的直角边等于斜边的一半，可得 BC。

例 6 ： 已 知 在 圆 O 中， 两 弦 AB、CD 相 交 于 点 P ， 求 证： PA⋅PB= PC ⋅PD 。

分析：本题可根据圆周角定理和相似三角形的性质添加辅助线，连接 AC、BD，因为 ∠C=∠ B（同弧所对的圆周角相等）， ∠A=∠ D（同弧所对的圆周角相等），所以△ ACP ∽△ DBP，根据相似三角形对应边成比例，可得，即 PA⋅PB=PC⋅PD

结论

平面几何中辅助线的添加是解决几何问题的关键策略，按定义、基本图形、图形特点、命题条件及结论等维度添加辅助线，可将复杂问题转化为简单问题，揭示图形中的隐含关系，提高问题解决的效率，在实际教学中，应引导学生掌握辅助线添加的规律和方法，大量的实例练习，培养学生的几何思维能力和问题解决能力，同时教师也应不断探索和创新教学方法，提高几何教学的质量和效果。

参考文献

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