《线性代数》赋能AI 关键技术教学实践案例研究

一、引言

在当今数字化时代，人工智能（AI）正以迅猛的势头改变着我们的生活和工作方式。从智能语音助手到自动驾驶汽车，从医疗诊断系统到金融风险预测模型，AI 的应用场景无处不在。而线性代数作为一门基础数学课程，在AI 的众多关键技术中扮演着不可或缺的角色。它为 AI 提供了强大的数学工具，帮助我们理解和构建复杂的模型。因此，将线性代数与 AI 关键技术相结合的教学实践具有极其重要的意义，能够帮助学生更好地掌握知识，培养他们解决实际问题的能力。

传统的线性代数课程中，矩阵的秩通常通过行列式或向量组的最大线性无关向量组等抽象数学定义引入，缺乏几何意义的直观阐释。学生往往难以理解秩的本质是线性变换后空间的维度保留特性，仅能通过机械计算行阶梯形矩阵的非零行行数判断秩的大小。这种“定义—定理—例题”的解决模式割裂了数学概念与物理、计算机等学科的实际联系，导致学生陷入机械学习“学而无用”的困境。

二、人工智能的主要理论和方法

主要理论：机器学习是人工智能的核心理论之一。它基于统计学原理，通过让计算机从大量数据中自动学习规律和模式，从而实现对新数据的预测和决策。深度学习是机器学习的一个分支，它模仿人脑的神经元结构，构建了多层的神经网络模型。这些神经网络能够自动提取数据的特征，处理复杂的非线性关系。强化学习是让智能体（Agent）在环境中通过试错来学习最优行为策略的一种理论。智能体根据当前状态选择一个动作，环境会给予相应的奖励或惩罚，智能体根据这些反馈来不断调整自己的行为策略，以获得最大的累积奖励。

（一）主要方法：

1. 数据预处理方法：在 AI 中，数据是基础。数据预处理方法包括数据清洗（去除噪声数据和异常值）、数据归一化（将数据缩放到一定范围，如 [0，1] 区间）、数据标准化（使数据符合标准正态分布）等。这些方法能够提高数据的质量，为后续的模型训练提供更好的输入。

2. 特征工程方法：特征工程是将原始数据转换为能够更好地代表数据特征的过程。它包括特征选择（从众多特征中挑选出对模型有用的特征）、特征构造（通过原始特征生成新的特征）等。例如，在文本分类任务中，通过提取文本中的关键词、词频等特征，能够更有效地表示文本内容，提高分类模型的性能。

3. 模型训练与优化方法：模型训练是利用训练数据来调整模型参数的过程。常见的优化方法有梯度下降法，它通过计算损失函数对模型参数的梯度，逐步调整参数，使损失函数达到最小值。此外，还有随机梯度下降法、Adam 优化算法等，这些方法能够在不同的数据规模和模型结构下，更高效地训练模型。

在传统的线性代数课程教学中，矩阵、秩等核心概念往往因抽象性导致学生难以建立直观认知。人工智能技术的引入，通过知识图谱、生成式 AI、自适应学习系统等技术重构教学范式，实现数学理论与工程实践的深度融合。

（二）知识图谱：构建认知逻辑网络

知识图谱将线性代数知识点（如矩阵运算、秩的定义）及其关联关系（如秩与线性方程组解的关系）以网状结构呈现，帮助学生建立系统性认知。构建三维知识图谱，通过智能推荐算法动态调整学习路径。

1. 生成式AI：可视化与动态交互

利用生成式AI 技术（如3D 动态模型交互式演示、虚拟现实）将抽象概念具象化。例如，通过动态演示矩阵秩的几何意义——秩为 1 的矩阵将三维空间压缩至直线，秩为 2则保留平面结构，使学生直观理解“秩= 独立信息维度”的本质。

2. 自适应学习系统：精准诊断与个性化教学

基于学生学习轨迹数据，AI 算法可实时识别认知盲区。例如，当学生混淆矩阵秩与行列式概念时，系统自动推送针对性习题与微课，并结合学科背景（如计算机视觉或金融建模）设计差异化案例，强化“数学工具——应用场景”映射。

（三）跨模态技术融合

自然语言处理（NLP）：AI 助教支持智能问答，解答学生关于矩阵秩的疑问；

计算机视觉：通过图像处理案例（如矩阵分解压缩图像）展示秩的实际价值；强化学习：在虚拟实验室中模拟矩阵秩变化对神经网络性能的影响，培养算法设计能力。

三、线性代数中矩阵和矩阵秩的概念在AI 中的应用案例

（一）问题背景

传统教学痛点：矩阵秩的定义依赖抽象数学推导（如子式法、行变换法），缺乏直观解释，学生难以理解秩在工程中的意义，例如图像压缩、数据降维等场景。

AI 赋能目标：通过图像压缩案例，将秩的数学定义转化为可感知的技术应用，结合生成式AI 与自适应学习，实现“概念理解——实践操作——效果反馈”闭环。

在图像处理领域，图像压缩是一个常见的问题。随着数字图像的广泛应用，存储和传输大量的图像数据会占用大量的空间和带宽。因此，如何在保证图像质量的前提下，尽可能地压缩图像数据量是一个亟待解决的问题。而线性代数中的矩阵和矩阵的秩概念在图像压缩中有着重要的应用。

图像可以看作是一个矩阵，其中矩阵的每个元素代表图像的一个像素值。例如，一个灰度图像可以用一个二阶矩阵表示，矩阵的行数和列数分别对应图像的高和宽，矩阵中的元素值范围表示像素的灰度值。对于彩色图像，可以用三个矩阵分别表示红、绿、蓝三个颜色通道的像素值。

矩阵的秩是一个重要的概念，它表示矩阵中线性无关的行数或列数。在图像矩阵中，如果矩阵的秩较低，说明图像中存在大量的冗余信息。通过降低矩阵的秩，可以去除这些冗余信息，从而实现图像的压缩。

（二）应用过程步骤1：概念可视化

动态演示：使用生成式 AI 工具展示矩阵的数学定义可视化演示、灰度图像矩阵的秩变化效果、交互式演示矩阵秩的几何意义，还有矩阵秩在图像压缩中的动态演示。交互实验：学生在虚拟实验室拖拽滑块调整矩阵秩，实时观察图像质量与存储空间的变化，理解“秩= 独立信息维度”的工程意义。

步骤2：算法实践

矩阵分解实战：引导学生用 Python 实现奇异值分解（SVD），将图像矩阵分解，通过保留前k 个奇异值（对应秩为k）完成压缩。

AI 优化对比：引入生成对抗网络（GAN）对低秩图像进行细节增强，对比传统SVD 与AI 增强效果的差异，理解秩选择与算法优化的平衡。

步骤3：个性化反馈

学情分析：AI系统根据学生代码运行结果（如压缩率）生成热力图，定位常见错误（如秩选择过小导致图像失真）；

自适应推送：针对薄弱环节，推送相关微课（如“秩与数据冗余的关系”）及拓展

案例（如推荐系统中的低秩矩阵补全）。

（1）图像矩阵的构建

这表明压缩后的数据量约为原始数据量的 62.5% ，实现了较好的压缩效果。

2. 图像质量

图像质量是另一个重要的评估指标。虽然图像被压缩了，但希望重建后的图像与原始图像在视觉上尽可能接近。通常可以使用峰值信噪比（PSNR）和结构相似性（SSIM）等指标来衡量图像质量。PSNR 值越高，表示重建图像与原始图像的误差越小；SSIM 值越接近 1，表示重建图像与原始图像在结构上越相似。

（四）总结与启示

1. 线性代数知识的重要性

通过这个案例，我们可以看到线性代数中的矩阵和矩阵的秩概念在解决实际问题中的强大作用。矩阵的奇异值分解方法为图像压缩提供了一种有效的途径，而矩阵的秩则帮助我们理解图像数据中的冗余信息。这充分说明了线性代数知识在人工智能领域的基础性和实用性，学生应该重视线性代数的学习，掌握其核心概念和方法。

2. 理论与实践相结合

在教学过程中，将线性代数的理论知识与实际问题相结合是非常重要的。通过具体的应用案例，学生能够更好地理解抽象的数学概念，感受到数学知识的实际价值。同时，这种结合也能够激发学生的学习兴趣和积极性，培养他们的创新思维和实践能力。

3. 多学科融合的思维模式

本案例还体现了多学科融合的思维模式。图像压缩问题涉及到计算机科学、数学、信息科学等多个学科的知识。在解决实际问题时，需要综合运用这些学科的知识和技术，形成跨学科的解决方案。因此，在教学中，应该鼓励学生打破学科界限，培养多学科融合的思维模式，以更好地应对复杂多变的实际问题。

人工智能并非取代传统数学教育，而是通过技术赋能弥补其结构性缺陷。从“定义灌输”到“情境建构”，从“统一教学”到“精准育人”，AI 技术正在推动线性代数课程从“工具性知识”向“思维性能力”的转型，为新工科人才培养提供核心支撑。

矩阵和矩阵的秩概念在图像压缩中的这个应用案例，不仅展示了线性代数知识的实际应用价值，还为学生提供了一个具有代表性和启发性的学习范例。在未来的教学实践中，我们应该继续探索线性代数与人工智能的深度融合，创新教学方法，培养更多能够适应人工智能时代需求的高素质人才。

参考文献：

[1] 同济大学数学科学学院 . 工程数学线性代数 [M] 7版 . 北京 ： 高等教育出版社 ，2023[基金项目] 南通大学教学改革研究课题（2024E17）“数字化转型背景下《线性代数》课程教学改革探索研究”

龚海萍（1976，11—），女，汉族，江苏南通人，硕士研究生，讲师，研究方向：学科教学研究