新课标下高中数学中三角函数的解题方法研究

1 新课标对三角函数教学的要求

新课标强调数学教学应注重知识的内在联系和实际应用，培养学生分析问题和解决问题的能力。对于三角函数部分，新课标要求学生需要掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、图像、周期性和奇偶性等性质。学生应能够熟练运用三角函数的加减乘除、倍角公式、半角公式等运算规则，以及和差化积、积化和差等变换技巧。此外，学生应能够将三角函数知识应用于实际问题中，如解决三角测量、物理振动等问题。

2 高中数学三角函数的基本解题方法

2.1 直接代入法

直接代入法是三角函数解题中最基础的方法，适用于已知角度或函数值可直接代入公式求解的情况。其核心是通过题目给定的条件，将数值或表达式直接代入相关公式或恒等式，从而简化问题或求出未知量。这种方法在求值、化简或解方程时尤为常见，尤其当题目中明确给出特殊角（如 30^∘ 、 45^∘ 、 60^∘ °等）或函数值时，直接代入能快速得到结果。

适用场景：

（1）特殊角求值：例如计算 sin30^∘ °、 cos45^∘ 等，可直接背出结果或通过单位圆求解。

（2）函数值已知：若题目给出 sinα=1/2 ，可直接代入其他函数（如cosα、tanα）的公式中。

（3）化简表达式：如将 sin²x+cos²x 直接化简为 1

解题步骤：

（1）确认已知条件：明确题目给出的角度或函数值，判断是否可直接代入公式。

（2）选择公式：根据问题类型选择恒等式（如平方和公式、和角公式等）。

（3）代入计算：将已知值代入公式，逐步简化或求解。

例题分析：

例题1：已知 sinθ=3/5 ，且 θ 为第二象限角，求 cosθ 和 。解法：

（1） 利 用 同 角 关 系 ， 代 入 sinθ=3/5 ， 得cos θ=±4/5

（2）因 θ 在第二象限，cosθ 为负，故 cosθ=-4/5 。

（3）由 ta ，得

注意事项：

（1）符号判断：需根据角的象限确定三角函数的正负（如第二象限 sin 为正，cos 为负）。 （2）公式选择：避免混淆不同公式（如和角与倍角公式）。（3）精确计算：涉及根号或分数时需化简彻底。

2.2 同角三角函数关系法

同角三角函数关系法基于同一角度的三角函数之间的恒等关系，通过已知一个函数值推导其他函数值，或用于化简表达式。常用的恒等式包括平方和公式（ sin²x+cos²x=1 ）、商数关系（ tanx=sinx/cosx ）和倒数关系（如 cotx=1/tanx ）。

核心公式：

（1）平方和关系： sin²α+cos²α=1( （可变形为 等）。

（2）商数关系：t an∝=sinα/cosα ， （3）倒数关系： ，sec α=1/cosα 。

适用场景：（1）求未知函数值：已知一个函数值，求其他五个函数值。（2）化简表达式：将复杂式子转化为单一函数形式。（3）证明恒等式：通过恒等变形验证等式成立。

解题步骤：

（1）确定已知条件：明确已知的三角函数及其象限。（2）选择公式：根据目标选择平方和、商数或倒数关系。（3）分情况讨论：若涉及开方运算，需根据象限确定符号。

例题分析：

例题 2：化简表达式 (sinx + cosx)² +(sinx-cosx)² 。

解法：

（1）展开平方项： (sin²x+2sinxcosx+cos²x) +(sin²x-2sinxcosx+ cos²x) 。

（2）合并同类项： 2sin²x+2cos²x_o （3）提取公因式并利用平方和公式： 2(sin²x+cos²x)=2×1=2

注意事项：（1）符号问题：开方时需结合象限判断正负（如co ) 在第二象限）。（2）公式变形：灵活运用1 的替代（如1=sin²x+cos²x ）。（3）万能公式：复杂时可考虑用 tan(α/2) 表示其他函数。

2.3 锻炼数学思维，培养学生应变能力

三角函数知识涉及公式较多，这就要求学生具备较强的数学思维，针对不同的题目灵活运用各种公式，培养学生运用数形结合、函数代换、换元法等数学思维解决问题。例如，求函数的值域，此题在解答过程中就需要用到换元法。，令，则，所以，利用二次函数图像得到。在解答与函数图形相关的例题时，要求学生熟练利用数形结合解决问题。如，若求 ∝ 的取值范围。令，作出 f(x) 和 g(x) 图像，从图像中可以看出两函数图象交点P 的横坐标 x_p 大于，小于，所以 ∝ 的取值范围为。

2.4 课后总结归纳，锻炼学生自学能力

（1）错题归因分析法

学生应建立错题本，分类记录计算错误（如符号错误）、思路错误（如公式选择不当），每周复盘并重做同类题。

（2）构建思维导图

以“三角函数”为中心，分支包括公式体系、图像变换、解三角形、应用题型，通过图形化记忆强化知识关联。

（3）限时训练与拓展

每周完成 1-2 套专题限时训练（如 15 分钟完成 5 道化简题），结合大学预修内容（如积化和差）拓展思维深度。

（4）合作学习与讲解

教师应组建学习小组，轮流讲解经典题（如“已知 tanα=2 ，求sin²α-sinαcosα ”），通过输出倒逼输入，巩固理解。

学生常忽略定义域，例如求 y=tan(2x+π/3) 定义域时，易漏掉2x+π/3≠π/2+kπ 的条件。此外，学生常存在图像平移错误，例如，混淆 Φ 与 ω 对图像的影响，牢记“左加右减”仅针对 x 本身（如y=sin(2x+π/ 需化为 sin[2(x+π/6)] 再平移）。学生通过系统梳理知识框架、针对性训练与反思，可逐步实现从“被动解题”到“主动分析”的跨越，最终形成扎实的数学素养与自主学习能力。

3 结语

新课标下高中数学中三角函数的解题方法研究是一个复杂而重要的课题。教师应深入探究三角函数的解题方法、创新应用策略以及提升解题能力的途径，以更好地指导学生掌握三角函数知识，提高解题能力和数学素养。同时，教师也需要不断更新教学理念和方法，以适应新课标的要求和学生的发展需求。在未来的教学中，教师应将继续探索和实践更多有效的三角函数教学方法和策略，为学生的全面发展贡献更多的智慧和力量。

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