例谈培养归纳思维对学生的重要性

归纳思维既是一种数学思想也是一种数学方法 . 它既是发现和提出数学问题的源泉，又是分析和解决数学问题的根本 . 但思想方法也不可能是无根之木、无源之水，学生对思想方法的领悟必然从有“型”到无“型”，本文从一个例谈出发，谈如何对学生归纳思维进行培养.

1. 问题与启示

有一对师徒，徒弟想知道师傅的年龄时，师傅对徒弟说 : 我在你现在的年纪时你才 5 岁，你到我现在的年纪时我就 71 岁了 . 问师傅现在多少岁？

但笔者在多年教学听课中发现，有三分之一的学生不能正确独立地完成该方程组的建立 . 一次偶然的机会听了特级教师华应龙老师的报告，他也是以该题为背景在小学五年级开设公开课，感触很深 . 因为华老师实施的教学策略是先给孩子们一组师傅和徒弟两人的具体年龄，然后让孩子们思考“师傅对徒弟说：我在你现在的年纪时你才？岁，你到我现在的年纪时我就？岁了”. 鉴于五年级孩子的认知水平，一组数据的效果只是启发了班上个别学生的思维，于是华老师接着让班上的学生自己模仿举例，随着数据量增加到 4 组时，班上有百分之六十多的孩子的思维受到启迪 . 此时华老师不断地给学生机会，表达自己对所给数据问题的理解 . 接着，当华老师将问题转到最初的问题时，连班上以前最不喜欢发言的孩子都积极举手了.

回顾整个探究过程，老师和同学们举的实例是归纳的前提，老师不断引导学生进行思维表达是归纳的催化剂，最后由特殊到一般形成归纳思维是升华 . 学生面对从未处理过的数学问题，在没有已有解题经验辅助的情况下，举例归纳就显得尤为重要.

2. 问题再思考

在平面直角坐标系 _x0y 中，对于点P (Φ_X,Φ_y) 和 ， 给出如下定义：若 ，

则称 Q 为点 P 的“可控变点”. 例如：点（1,2）的，点（-1,2）的“可控变点”为（1,-2）.

根据定义，解答下列问题：

点P 的“可控变点”为 P₂ ，点 P₂ 的“可控变点”为 P₃ ，点P3 的“可控变点”为 P₄ ，…，以此类推，若点 P₂₀₁₈ 的坐标为（3，a），则点 P₁ 的坐标为

好多时候学生的解题应变能力还是欠缺的，碰到新的问题心里是慌得，所以导致新定义问题成为学生解题时的痛点，究其原因或多或少跟教师的教学实施策略有关，就如公式 (a-b)(a+b)=a²-b² 的推导，很少有教师花很大的精力在取特殊数值进行归纳猜想所得，更多的教师在讲解时借助矩形的面积关系加以推导；又或是直接利用整式乘法公式解释. 这种教学策略寻常到学生不会有任何疑虑，教师讲得也顺其自然、行云流水 . 那如果我们面对的是没有平方差公式基础储备的学生，需要怎么做才能找出 a²-b² 的乘积形式呢？记得章建跃博士曾说过，我们思考问题的常规套路都是由特殊到一般，而在取特殊值时又应该考虑最简单又不失问题本质的特殊值，这样就如史宁中教授的观点，先取 b_α=1 ，a 让其变化，这样就可以得到以下几组数值：

2²-1=3 ； 3²-1=8 ； 4² -1=15； 5²-1=24 ； 6² -1=35； 7²-1=48 ；…因为 3=1×3 ， 8=2×4,15=3×5,24=4×6,35=5×7,48=6×8 ，…，这样实例分析就可以帮助五年级的孩子们归纳得到 a²-1=(a-1)(a+1) ，进而采用类比猜想的方法也能得到问题解决[1]

其实，学生在学习数学的概念、法则、公式等等时，一般地，都要借助较为丰富的具体例子加以直观引导，获得直接经验，然后对直接经验进行由表及里、去粗取精地逐步抽象，再对抽象内容给予归纳、概括，达到对事物的本质认识，并进入理性认识阶段，此时才形成了归纳思维.

归纳思维是归纳推理的心理反应过程，是逻辑思维的重要组成部分 . 归纳是归纳思维的外在反映形式，逻辑推理是数学知识习得的重要中介系统. 逻辑推理有两种形式，一种是演绎推理，另一种是归纳推理[4]．演绎推理是一种由一般到特殊的推理，如 a²-b²=(a+b)(a-b) 已知在计算 99² 时就能想到 (99+1)(99-1) 这样简便计算的方法，而且可以保证这样的结论是必然成立的，同时借助演绎推理也可以验证某一结论的正确性，但一味地注重演绎推理下演绎思维的培养，会导致学生缺乏创新意识和创新能力．而归纳推理是一种从特殊到一般的推理，就如同数学先辈们提出数学是看出来的一样，通过归纳推理得到的结论是未曾检验过的，需要检验．但归纳推理形成的归纳思维有助于学生在碰到新问题时有心理准备，就如小学的孩子在小学六年的数学学习中，把归纳思维从启蒙到发生再到发展，一点点落实，那这样的学生对初、高中乃至以后的数学学习是得心应手的，这样的学生是有创新意识和创新能力.

3. 思考与认识

要正确有效地培养学生思维的前提就是理解学材，理解学材就包括理解教材和理解学生 . 理解教材包括了解数学概念的背景、掌握它的逻辑意义、发掘概念内涵所蕴含的思维过程和科学方法、洞察概念形成过程中所反映的数学思想方法等等．理解学生包括理解学生的既有思维特征，已有的认知结构和维果斯基的“最近发展区”在相应学段学生脑海中的实际距离. 教育工作者经常会听到这样一句话：教之道在于‘度’，学之道在于‘悟’. 事实上我们中的很多数学教师并没有很好地去揣摩这个“度”，这个“度”就应该是华老师在五年级孩子碰到初中数学问题时的，不断给予全部孩子广泛的表达自己思维过程的机会、给予孩子们不断的试错机会（这边的试错，是所举实例的数据并不是题目的正确答案），适时的思维点拨等 . 因为思维本就是人脑对客观事物的本质和事物之间的内在联系的认识，所以内在联系和本质是随着认识的不断深入而抽象出来的，这里不就是有个“度”的问题吗，当学生的认知由量变最后上升到质变时，学生就出现了“恍然大悟”的状态，这种思维状态的心理反应快感是学生久久不能忘怀的，是提升学生学习数学兴趣的内驱力之首.

“熟能生巧”说的就是经验多了可以发现规律，这也是认识问题的一般方法和自然过程，同时也给教育工作者阐明了一个简单但深刻的教学原理 . 一般“经验”是客观事物的具体反应，而“规律”却是蕴含在事物内部的本质，需要进行思维抽象 . 要“透过现象认识本质”，这就离不开教师地有意识地、长期地的培养. 让学生认识世界的方法论“感知觉——记忆——思维”，也就是先要让学生研究实例，并把研究的过程保存到记忆中变成有效经验，再进行归纳概括发展成思维，最后形成能够认识事物全体的认知能力 . 对于同一实例，因为所含的信息的多样性和丰富性，使得不同的人会形成不同的经验，发展出不同的思维能力，在进行小组合作时，不同的认知会碰撞形成多样的火花，有助于求异思维的发展.

5. 认识与领悟

归纳思维在学生数学学习过程以及以后的工作生活中，都承担着重要角色 . 但对它的培养又不是一撮而就的，应该是一个循序渐进的培养过程，遵循思维发展的不断递进和连续建构，这样就可以把义务教育阶段的归纳思维分为三个阶段 [3]：一、二年级为启蒙阶段；三、四、五年级为发生阶段；六年级以后为发展阶段 . 其实在实际学习中这三个阶段又不会如此的泾渭分明，它们之间还是相互联系、螺旋上升的 . 第一阶段还是以简单的图形规律题为抓手，利用操作和观察发展归纳推理意识；第二阶段则以相对复杂图形或数字规律题为主，在培养学生数感和符号意识的同时，促使学生的思维从演绎思维为主转向归纳思维跟它并驾齐驱 . 第三阶段开始归纳思维的培养和巩固发展的素材就丰富了有概念、定理、性质、试题等等，起到了培养与应用的双重任务，我们的教学常常是概念一个个地教，定理一个个地学，这样就容易迷失在局部，心中时刻要有三阶段的任务脉络图，能把准教学的大方向，才能使得思维培养有的放矢，“从一个题目出发……把学生引入一个完整的理论领域”是一种理想状态，因为课堂教学中思维来源于知识生成过程和学生认知过程的融合，所以就要求教师从整体性上落实各阶段对归纳思维的培养.