圆锥曲线中的优化计算

在平时的教学中，我们往往会遇到这样的问题，直线 Φ_l 与曲线相交于A，B两点，P 为线段 AB 的中点，求直线 OP 的斜率，常规的办法是曲直联立，通过韦达定理求出 P 的坐标，再利用斜率公式即可求出直线 OP 的斜率，这种方法的核心就是要进行曲直联立。但是我们可以这样思考，A 点，B 点都在曲线上，代入之后会得到2 个方程，再用两个方程相减就可以直接得到直线OP 的斜率，不用曲直联立，大大优化了这类题的计算量，这种方法我们称为点差法。但事实上，很多时候 P 不一定是中点，可以是任意位置，即 ，那这种情况是否可以用点差法来解决呢？答案是肯定的。

为 了 解 决 上 述 问 题， 首 先 我 们 思 考 这 样 一 个 题 目， 已 知 ，则 P 的坐标为多少？通过向量的运算可以得出 P x1 +λx2 ， y1 +λy2 ， 这种求 P 的坐标的公式我们称为定比分点公式，在教材中也有提及。下面就以一个具体的实例详细阐述定比点差法。

例题：已知 F₁ ， F₂ 分别是双曲线 C ： 的左右焦点，点 是C 上一点，且△ QF₁F₂ 的面积为

求双曲线C 的方程；

点 M 是 C 上一动点，直线 MF₁ 与 C 的另一个交点为 ΔA ，直线 MF₂ 与 C 的另一个交点为B，设 ， ，请问 λ+μ 是否为定值？若是，请求出这个定值并证明；若不是，请说明理由。

解：（1）由题得： 2x²-2y²=1

（2）设 M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，由 得： 又M，A 在C 上，则 ，即 2x02 − 2y02 =1

□ed2（λx₁）²-2（λy₁）²=λ²

上面两式相减得：

即

即

即 λ=-4x₀-3 ，同理： μ=4x₀-3 ，则 λ+μ=6

通过上述解答可以看出，此方法并没有进行曲直联立，直接两个方程相减

即可，能快速地求出 λ+μ 的定值，大大地优化计算。如果此题进行曲直联立来解答，肯定也是可以的，但是它的计算量就大很多，会让很多学生“望题兴叹”，如果读者有兴趣不妨一试。

定比点差法在圆锥曲线中的应用非常广泛，它可以解决很多问题，比如求点的坐标，求离心率，求直线方程，求弦长，解决定点、定值和定直线问题，求范围问题等等，但是在很多时候题干给出的条件是隐藏了关键信息，要通过转化才能使用定比点差法来求解，所以要想熟练的掌握此方法，下来之后一定要多研究多琢磨，遇到圆锥曲线的解答题一定要学习一题多解，总结不同题目的相同点和不同点。定比点差法的关键步骤为构造定比分点的结构，由于定比分点公式为 P x1 +λx2 ， y1 +λy2 ，所以要使两个方程相减后能出现定比分点公式的结构，就必须一个方程两边同时乘上 λ² 再两式相减即可。

在平时的教学中，很多时候不是学生做不起，那是因为在限定的时间内，每道题都用很繁琐的方法去求解是不现实的，时间也绝对不允许，因此在平时的教学过程中应多思考多研究，有没有更加简洁更加优化的方法，这会大大地提高学生的求知欲望，对教学也是一种极大的帮助。在新高考数学改革中，多想少算的思想在每年的高考题中均有充分的体现，要教会学生勤思考，思维打开了，计算量必要要小一些。定比点差法其实在解决圆锥曲线的相关问题时就是一种多想少算的典例，值得我们去研究。

参考文献：

[1] 圆锥曲线中定点问题的题型及解题策略. 张平 . 高中数理化，2024（11）

[2] 定比点差法原理及其应用. 蒋伟. 中学教学参考，2024（9）

[3] 定比点差法及其应用. 孙吉来. 高中数理化，2024（11）