核心素养导向的幂函数教学设计

一．内容分析

幂函数位于人教 A 版第三章第三节，紧跟函数的概念及基本性质之后，具有承上启下的作用，为指数函数，对数函数的学习提供示范作用。函数是高中课程的重点也是难点，而指数函数、对数函数、幂函数是三种基本函数，其应用广泛。本节课的教学内容是幂函数的概念，以及五种常见幂函数的图象和性质。本节课的教学重点为：幂函数的概念，五个常见幂函数的图像及性质。教学难点为：如何利用幂函数的性质解决比较大小，解不等式等问题。本节课意在培养学生数学运算，数学抽象，直观想象，逻辑推理的能力。从数学知识本身出发，在基础知识和基本原理的引导下进行深度思考。深度思考一般指思维逻辑大规模的展开，不断逼近问题本质的思考[1]。

二．教学目标

学会从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面分析幂函数，了解研究函数的一般思路与方法，认识数学的应用价值。

三．教学过程

1. 新课导入

（1）李光购买了每千克 1 元的青菜 w 千克，她需要付 p=w 元，p 是w 的函数；

（2）正方形的边长为 Δ_a ，正方形的面积是 S=a² ，S 是 Δ_a 的函数；

（3）正方体的棱长为 b ，正方体的体积是 V=b³ ，V 是 b 的函数；

（4）正方形场地的面积为 s ，正方形的边长 ，c 是 S 的函数；

（5）某人 t s 内骑车行进了 1km ，他骑车的平均速度 是t 的函数。

问题1：观察上述五个函数解析式，它们有什么共同点？

设计意图：意在培养学生的观察能力，概括能力和语言表达能力，从而引入幂函数的概念。该种概念教学方式称为概念形成，概念形成是指个体通过反复接触多个同一类事物或现象的共同特征或共同属性，并通过肯定（ 正例） 或否定（ 反例） 的例子加以证实的过程。

3. 讲练结合

练习2. 函数 f（x）=（m²-m-5）x^m-1 是幂函数， 当 x∈（0，+∞） 时 ， f（x） 是增函数， 试确定 m 的值。

设计意图：考察幂函数的概念及性质，属于知识理解水平，知识理解是数学核心素养生成的基础。只有对知识的本质充分把握，才能学以致用。

练习3. 证明幂函数 是增函数。

设计意图：意在复习函数单调性定义，函数单调性是高中数学核心概念之一，在函数章节发挥重要作用，教师强调规范书写的步骤。首先取值，设 x_⋅1 ， x_γ 是函数定义域内的任意两个值， x₁2 ；接着做差或者做商，通过通分、配方等方法转变成容易判断正负的式子，进而确定两个函数值的大小关系，最后下结论。

设计意图：本题是个高频错题，错误原因是学生考虑情况不全面，大部分学生只考虑一种或两种情况。该幂函数为 ，它的图像不连续，由大于 0 和小于 0 两个部分组成，本题分为三种情况，第一种是 2-a 和a-1 都大于0，第二种是 2-a 和 ^a-1 都小于0，第三种是2-a 大于 0 ， ^a-1 小于 0 。

喻平教授指出知识学习的 3 种形态依次为知识理解，知识迁移，知识创新，分别对应学生数学核心素养一级水平，二级水平，三级水平[2]。本题对知识的考察属于知识迁移水平，立足知识本源，理解知识间的逻辑关系，再进行整合应用，体现学生的数学思维品质。

4. 课堂小结

5. 布置作业（必做题和选做题）

必做题：教材课后练习题

习题 3.3 第三题 用描点法画出函数 f（x）=x^-2 的图象，并证明函数的单调性、奇偶性。

设计意图：意在考察学生对研究函数的一般方法的掌握程度，体现用抽象的数学语言证明函数单调性的重要性。

鉴于学生认知水平的差异，作业分为必做题和选做题（加大难度）。必做题面向所有学生，主要考查基础知识和基本概念，难度不大。选做题是学生根据自身情况选择做或不做，难度较大，目的是拓展学生视野，提升学生的素养水平。结合函数图像，确定该函数为偶函数，它在第一象限向上凸起且单调递增。必做题与选做题结合起来布置作业，能满足不同层次学生需求，也符合因材施教的原则。布置作业的目的是帮助学生巩固所学知识，最理想的状态是在学生的最近发展区内，使得他们跳一跳能够得着。

参考文献：

[1] 莫琳 · 希凯 . 深度思考 ： 不断逼近问题的本质 [M]. 南京 ： 江苏凤凰文艺出版社，2018.

[2] 喻平 . 数学核心素养评价的一个框架 [J]. 数学教育学报 ，2016（12）.

[3] 徐章韬. 论基于样例学习理论的习题课教学设计[J]. 数学教育学报 ， 2015（6）.

倪霞美，1993 年出生，性别女，汉族，籍贯：安庆，学历：研究生，单位：安庆一中，单位邮编：246000