追寻运算本源 深耕运算一致性

新课标指出：在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。对“数学学科本质”“结构化的数学知识”的理解落实到小学“数与代数”内容领域，感知对数运算与运算之间的关系，使数的运算一致性在本质上得到体验，从而形成运算能力，形成推理意识。怎样才能恰当地把新课标精神融入到平时的课堂教学中？教师如何引导学生在四则运算的教学中真正领悟和建构一致性？

一、建构数与运算一致性的整体分析

对于数与运算，纵观教材和实际的课堂教学，不难发现加法、减法、乘法、除法各讲各的道理，整数、分数、小数也是算法各异，看似各不相同，缺乏联系，实则不然。

1. 观纵向：小数乘法与整数乘法的一致性

算律决定算理，算理决定算法。依据这样的原则，叙述了整数、分数、小数运算的一致性。乘法运算的一致性表现为：计数单位乘以计数单位，计数单位上的数乘以计数单位上的数。例如整数乘法 ⋅200×40=8000 ”实际上就是“2 个百”乘“4 个十”，依据前述，计数单位和计数单位上对应的数字分别相乘，列式为 ”。不管是整数、分数、小数乘法，都是依据这样的一致性。例如小数乘法 ”。可以直接用0 .4×0.7=（4×0.1）×（7×0.1）=（4×7）×（0.1×0.1）=0.28 。 这 样 直接采用多少个计数单位和计数单位上对应的个数相乘，得到新的计数单位0.01，有28 个，结果为0.28。还可以把它们转化成分数来计算，即 8。这样把 0.4 和 0.7 先转化成分数 ， 然后再用计数单位和计数单位上对应的数字相乘，得到新的计数单位 ，有 28 个，结果 为 ，再根据小数的意义得到 0.28。计数单位相乘，计数单位上的数相乘，即乘法运算的一致性。根据算律得出这样的算理，不论整数、分数、小数乘法的运算算理。根据算理得出算法，小数乘法先按照整数乘法算出来，再把乘数小数点的个数相加。这样的乘法运算其实就是位值制和乘法运算意义的一致性。

2. 观横向：小数四则运算的一致性

小数和整数一样适用四则运算律，小数乘法与小数加、减和除法之间也是有一致性的。小数加减运算表示计算单位不变，根据相同计数单位上的数字相加减。例如 ”，两个数分成“2 个一，6 个 0.1，2 个 0.01 ”和“3 个一，2 个 0.1”，如前所述，得到“5 个一，8 个 0.1，2 个 0.01”，即“5.82”。又如^#3.62-2.2 ”，两个数分成“3 个一，6 个 0.1，2 个 0.01^′′ 和“2 个一，2 个0.1”，如前所述，得到“1 个一，4 个 0.1，2 个 0.01⋅ ”，即“1.42”。小数除法运算是计数单位与计数单位相除，计数单位上的数与计数单位上的数相除。例如 ⁶⁶16.1÷7 ”，其实就是“16.1”被分成 ⁶⁶14 个一”与“21 个 0.1”，然后分别除以7，得到“2 个一”和“3 个0.1”，即2.3。在此基础上，小数加、减、乘、除法中表现的一致性是对“位值制”和“计数单位”两个大观念的佐证，帮助学生体会知识的本质，抓住了本源的一致性。

基于此，建构数与运算一致性的整体分析就是帮助学生体验运算是对计数单位的操作，横纵体现整数、分数、小数运算的一致性，借助这样的大观念打通“隔断墙”，形成整体性的认识和一致性的理解。

二、践行数与运算一致性的教学实践

小数乘法的教学中，如何在现有的教材中践行新课标理念，笔者做了如下实践和思考。

片段一：数形结合抓本源

课件出示：整数乘法 ⁶⁶20×4 ”和小数乘整数“0. 2×4 ”

师：整数乘法大家都学过，谁来说一说结果是多少？

生：先用 2 乘 4 等于 8，所以 20 乘 4 等于 80。

师：“0. 2×4 ”这个结果，按照以往的经验，是不是可以想办法算出来呢？

生： 可 以 用 乘 法 的 意 义， 表 示 4 个 0.2 相 加 等 于 0.8， 也 就 是0. 2+0. 2+0. 2+0. 2=0. 8. 。

生：可以想整数2 和4 相乘等于8，那0.2 乘4 就等于0.8。

师：下面这张图是小北同学用的，大家看看这张图表达的是怎样一个算式计算的道理？把你们的想法在小组里交流讨论。

生：一个三角形代表 10，2 个三角形代表 20，有 4 组就是 80，可以表示整数乘法算式。

生：一个三角形表示0.1，2 三角形表示0.2，有4 组就是0.8，可以表示小

数乘整数。

生：我们小组认为都可以表示。一个三角形可以表示 10，两个三角形表示20，有 4 组就是 80 ；一个三角形还可以表示 0.1，2 个三角形表示 0.2，有 4 组就是 0.8。

生：我觉得都有道理，三角形可以是1、2，也可以是0.1、0.2。

生：我们小组认为有 2 个三角形，每个三角形表示 10，一格就有 20，有 4个20，就是8 个十。

生：我看出这幅图中2 个三角形代表20，表示2 个十乘4，也就是12 个十，是 120。

生：那我发现也可以表示2 个0.1 乘4，也就是8 个0.1，是0.8。

师：真理越辩越明。猜猜看，小北同学这样还可以表示（ ） ×4= （ ）。

生： 2×4=8 。表示2 个一乘4 得到8 个一，是8。

生： 200×4=800 。表示2 个百乘4 得到8 个百，是800。

生： 2000×4=8000 。表示2 个千乘4 得到8 个千，是 8000

生： 0. 02×4=0. 08. 。表示 2 个 0.01 乘 4 得到 8 个 0.01，是 0.08。

师：这里面都用到了哪个算式？

生：用到了 $2 ＼times 4 = 8 。$ 。可以表示8个一、8个百、8个千……也可以表示8个0.1、8 个 0.01 ……

师：现在回过头来看看，小数乘整数和整数乘法，它们的道理其实是一样的，有的是在数有多少个0.1、0.01、0.001……还有的是在数有多少个一、十、百、千……都是在数有多少个计数单位。

片段二：优化设计提质量

课件出示： 0.3×8 9×0.06 1.14×3

师：自己算一算，算完了把心里话说给同桌听。

生：0.3 里面有 3 个 0.1，再乘 8，表示 24 个 0.1，是 2.4。

生：0.06 里面有 6 个 0.01，再乘 9，表示 54 个 0.01，是 0.54。

师：再计算 1.14×3 有困惑吗？

生：运用以前学习过的竖式计算，3 究竟放在谁的下面？

师：是啊，3 该写在哪呢？请你们小组讨论讨论。

生：将1.14 看作114 乘3，将3 放在4 以下，最后将点向左移动两个位子

生：如果3 写在4 的下面，根据数位对齐，那4 就变成0.04 了，得到来的结果就不是3.42。

生：我认为3 是整数，根据数位对齐，3 应该放在1 的下面。

师：先来想一想 1.14×3 和 ，这两个“3”的意思一样吗？

生：1. 14+3 中的3 表示加上3 个一。

生：1. 14×3 中的3表示3个1.14。也就是说有3个一加起来，3个0.1加起来，3 个 0.04 加起来。

师：所以3 写在哪里都表示3 个一、3 个0.1、3 个0.01。那老师以后改作业该怎么改呢？

师：同学们想一想 1140×3 ，我们列竖式计算，3 写在谁的下面生：3 可以写在0 的下面，也可写在4 的下面。

生：我们为了简便，把1140 当做114 个十，把3 写在4 的下面，表示342 个十。师：那现在1.14 乘3，你有什么想法了吗？

生：我想到了，把1.14 当做114 个0.01，所以3 写在4 的下面，得到342个 0.01，就是 3.42。

新课标指出，数的认识与数的运算具有密切的联系，数的认识是数的运算的基础，通过数的运算有助于学生更好地认识数。为此，笔者以小数乘整数为例，通过整数乘法的计算方法向小数乘整数迁移，唤醒学生已有的认知经验，知道现在的学生“身在何处”。为了帮助学生更好地“去哪”，笔者借助了小北同学的图形，建立数与形的直观模型，沟通了数与运算的联系，架起了计数单位的桥梁，让学生实现“如何去”的问题。