UbD理论下高中数学全概率公式的教学与反思

摘要：针对全概率公式教学中的公式套用、事件划分失准等难点，基于UbD理论构建逆向教学模型，通过解构"理解六侧面"形成"概念理解-逻辑推导-迁移应用"目标体系，融合WHERETO元素实施情境化教学策略，促进学生概率思维进阶．

关键词：UbD理论；逆向设计；全概率公式；理解六侧面

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》[1]，概率统计已成为高中数学课程的重要组成部分，其核心在于通过系统的知识学习与实践活动，全面培养学生的数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算四大核心素养．新课标强调概率统计教学需立足“四基”框架，从真实情境中抽象出数学问题，强化实践与创新意识．为了落实这些要求，高中数学课程进行了诸多调整．例如必修课程中新增了“样本空间”概念，旨在深入理解古典概型的数学本质；选择性必修部分则深化了条件概率、贝叶斯定理等工具在复杂决策中的应用，突出统计推断的科学性和严谨性．以《全概率公式》的教学为例，运用UbD理论逆向设计教学，突破传统教学局限，实现知识掌握与素养发展的有机统一．

一、理论基石：UbD理论与概率思维的适切性耦合

UbD（Understanding by Design）理论由教育学者Grant Wiggins与Jay McTighe于1998年提出，核心理念在于“以理解为先的设计”[2]．此理论着重于围绕“持久性理解”构建教学活动，采用逆向设计思维，颠覆传统流程．即从明确预期的学习目标开始，首先设计评估证据，确保学习效果可衡量；随后再依据这些证据规划具体的教学活动．UbD理论倡导的这种逆向思考方式，有助于教师更有效地设计教学，促进学生的学习理解与深度参与．UbD理论的三重革新价值：

1．逆向性：以"预期理解目标"为起点，破解传统教学"知识覆盖优先"的思维定式．

2．贯通性：通过"理解六侧面"（解释、阐明、应用、洞察、神入、自知）构建深度学习闭环．

3．迁移性：依托WHERETO元素实现"情境任务→认知工具→反思迁移"的素养进阶路径．

二、三阶段逆向设计流程

UbD理论下逆向教学设计的三个阶段，大概念作为核心，贯穿始终并与基本问题理解六侧面及WHERETO元素紧密交织，形成一个持续循环、相互影响的动态过程，如图1所示[4]．

（一）第一阶段：确定预期目标

基本问题对于学习者而言，其核心意义在于重新构建他们的认知框架，促使他们从被动接受知识转为主动探索知识．以问题为导向的教学能够帮助学生发现知识间的内在联系，激发思维发展让他们在探索问题的过程中学习并灵活运用知识．UbD理论如图2所示[4]．

为了明确全概率公式的教学导向，我们首先通过基本问题筛选流程深入探究，教学设计最重要三个点：情景、问题思维、价值．结合教材与课标分析，首要目标锁定为理解全概率公式的本质．随后我们思考在教学全概率公式时，哪些知识需要学生能口头阐述，哪些知识需掌握并应用于解决实际问题，从而确立应用目标．最后基于班级实际情况，细致分析学生在学习过程中容易出错的部分，据此设定易错目标，以便在教学中有针对性地强化，具体如下所示：

（1）结合具体案例，解释全概率公式基于条件概率与互斥事件加法公式的推导过程；

（2）阐明全概率公式中“完备事件组”两两互斥、并集为样本空间的条件及其对公式应用的影响；

（3）洞察全概率公式在“由因导果”概率问题中的普适性，理解其与贝叶斯公式的关联（后续拓展）．

（4）能从实际问题中识别并构建完备事件组，明确和的现实意义；

（5）正确使用全概率公式计算复杂事件B的概率；

（6）解决多批次产品混合后的次品率计算、多路径事件（如比赛晋级、疾病筛查）的概率分析等典型问题.

（二）第二阶段：确定合适的评估证据

明确了预期目标后，为检验学生是否达成这些目标，需要确定与之匹配的评估证据．预期目标直接决定了评估的方向和重点，例如若预期学生能应用全概率公式解决实际问题，那么评估证据就应围绕学生在实际问题情境中的表现来设计．UbD理论运用理解六侧面来评估学生的理解程度，如表2[4]．

在这一阶段，教师已经明确具体所要达成的学习目标，而学生什么样的行为能够体现出其对知识是否理解与掌握？基于理解六侧面确定和评估“全概率公式”的理解证据，如表3所示[4]．

（三）第三阶段：规划教学活动

依据既定的预期目标与评估证据，审慎思考应采取何种方式及如何组织活动，方能使学生全心投入并达成预期的理解．参考格兰特·威金斯与杰伊·麦克泰格的WHERETO元素（详如表4[4]），在教学设计中需注重活动的趣味与实效，以及教学手法资源与经验的适宜性．

教师在进行教学设计时，紧扣“全概率公式的意义与运算”这一核心主题，巧妙地将基本问题、评估证据及零散知识点融合，致力于构建学生对于该知识点的完整认知架构．结合WHERETO元素，精心规划了全概率公式的学习与教学流程，旨在通过重温教材第47页的例2，揭示抽签的公平性，进而引入教学内容，明确学习目的与重要性．通过师生互动与问题探讨，引领学生搭建知识逻辑框架，并鼓励学生在生活中寻觅相关实例，自主提出问题探索解决之道逐步形成解决问题的通用策略，以此推动学生学科核心素养的全面发展．详情参见表5[5]．

三、总结启示

在当今的教育大环境下，UbD理论指导下的教学设计深深植根于对学生理解的培育，为发展其核心素养铺设了坚实基础，且兼具理论支撑与实操性．它秉持以终为始的原则，先确立预期目标，再依据评估证据精心规划教学，有效破解了传统教学导致的概念理解浅薄的难题，切实推动了学科核心素养的落地．此外基本问题理解六侧面及WHERETO元素为逆向教学设计提供了坚实的理论支撑，确保了其在实践中的稳步前行．

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]．北京：人民教育出版社，2020．

[2] Wiggins G， McTighe J. Understanding by Design （2nd Edition）[M]. ASCD， 2005．

[3]张景中，彭翕成．GeoGebra在概率统计教学中的动态可视化应用[J]．数学教育学报，2022，31（3）：89-94．

[4]杨艳秋，王跃涵．基于UbD理论的高中数学逆向教学设计——以“随机事件与概率”单元为例[J]，中学数学教学，2023（6）：15-19．

[5]蔡海涛，卢妮．问题导学 激活“生”动——以“全概率公式”命题课教学为例[J]，《中小学数学（高中版）》，2022（5）：13-15．