高观点下的中学数学研究

1. 引言

目前关于中学数学和高等数学的研究较多，例如吴文前的高等数学与中学数学教学的衔接 [1]，以及孙侠、殷志祥和许峰的高等数学和新课标下中学数学的脱节与衔接问题的研究与探索 [2]。虽然以上内容对于中学数学和高等数学之间的联系都有所涉及，但并未对中学数学和高等数学的内容进行例题化的比较研究。

基于此现状，笔者从代数角度以例题的形式建立从高观点解决中学数学问题的方法。

2. 对比分析，凸显高观点下数学思想方法的简洁

2.1 三角函数的积化和差公式

中学数学的课本编排从方程的形式理论说起，从有理整函数开始处理的都是用根式可以解出的代数方程。普遍是整系数的一元二次方程 ax²+bx+c=0 ，带有少量的可约的一元三次方程，例如 ³+1=0 。对此，高等数学的讨论范围更具一般性，也就诞生了最重要的代数基本定理，即：复数域的每一个 Π_n 次代数方程一般有 Π_n 个根，或者更为准确地说，每一个 Π_n 次多项式f（z）可以分解成 Π_n 个线性因子。对于 n 次代数方程根的问题最典型的便是形如 xⁿ-1=0 或者 xⁿ+1=0 在复数域内的次单位根，并且高等数学中给出了其三角表示形式，以及指数形式。欧拉公式的引入将中学所学的两类毫不相关的函数联系在一起，并且将指数函数的定义域扩大到了复数域。可以利用欧拉公式的特点给三角函数和差化积、积化和差、倍角和半角公式的推导提供一种新思路。

例1 ：试推导三角函数的积化和差公式。

解：下面利用欧拉公式进行推导。

e^ix=cosx+isinx（1），e^-ix=cosx-isinx

用（1）加（2），得

用（1）减（2），得

积化和差：

2.2 线性方程组

在中学数学的学习中，我们采取加减或代入消元法处理二元一次方程组，但是在求解过程中运算量巨大。而高等数学融合了学生对于这两类消元法的理解，对多元线性方程组的求解过程进行了实质性的阐述，理解消元后的方程与初始方程同解，有利于学生理解矩阵消元法的原理，也便于学生了解某些中学数学问题可以用高等数学知识简化解决。

我们可以利用齐次线性方程组的理论解决某些中学数学问题。根据题目给定条件构造相应齐次线性方程组，再利用齐次线性方程组有非零解当且仅当其系数行列式等于零这一条件对问题进行求解，具体如下。

例2 ：已知为等差数列，

① 利用中学方法求解。

首先令Sr =an²+bn （S40 =1600a+40b=1600 （3）（S8o =6400a+80b=6400 （4）

消元法：用4乘以（3）减（4），得到

再将b σ=0 代入（3），得a=1

则Sπ =n²S₁₀₀ = 10000

② ”利用齐次方程组理论求解（S_n=an²+bn）

（1600a+40b =16006400d +80b=6400 ZX₁=a x₂=b x₃=-1 作为齐次方程组的解

（10000a +100b=S₁₀₀

由于有非零解。从

评析：本例法 2 通过题设条件构造齐次线性方程组，将结论中需要的量视为系数，并正确选取自变量构造非零解的条件。这种方法避开了法 1 中求通项公式以及求系数的步骤，直接利用系数行列式等于零这一步便求出。

高等数学除了利用矩阵消元法处理线性方程组问题外，还提出了克莱默法则，又赋予了解决线性方程组问题的新方法。事实上，一般在求解线性方程组问题时，由于计算量问题不会采取克莱默法则，但是克莱默法则研究了方程组的系数与方程组解的存在性及唯一性的关系。相较于求解方面的作用，克莱默法则具有更重要的理论意义。数学教师在中学教授一元二次方程根与系数关系时，可以联系克莱默法则的特点将其作为拓展延伸的内容，让学生感受到有时中学数学思想也与高等数学思想相契合。

2.3 向量与矩阵

相较于中学代数的学习，在大学学习代数的过程中，新增了一个新的工具—矩阵。虽说是全新的工具，但是在高中数学中学习的向量其实可以看作是矩阵的特殊形式。矩阵是学习线性代数重要工具，矩阵为行列式的计算提供了新的技巧和方法。熟悉行列式的计算后，我们就可以借助行列式来计算平面上任意三点构成的平面面积、空间中任意四点构成的立体体积。

平面上任意三点Ao=（Xo，yo）、A1=（x1，y1）、A2=（x2，y2）S= A0AXA0A1x1-x0y1-yo2 2lx-x0y-yo

例3：求由Ao=（-2，3）、A1=（2，3）、A2=（0，5）三点构成的三角形面解：

中学数学采取海伦公式S=√p（p-a）（p-b）（p-c），p者s=lalblsin|A0Ai| =4、[AoA] =2√2、[AA] =2√2，故p =2+2√2 或者利用余弦公式求出cosθ，再用S=lallb|sin （略）