从函数的表示方法看高中数学思维的培养

摘要：本文旨在探讨高中数学学习中，通过函数的表示方法培养学生的数学思维。以高中数学人教A版2019版教材为基础，详细阐述了函数表示方法的三种形式：解析法、列表法和图像法，并分析了这三种方法对学生理解函数概念、掌握函数性质和解决实际问题能力的提升作用。通过函数表示方法的学习，学生不仅能掌握函数的表示技巧，还能发展出归纳与演绎、数形结合、模型建立等数学思维，从而全面提升数学素养和问题解决能力。

关键词：高中数学；函数表示方法；数学思维

函数是高中数学的核心概念之一，它不仅是数学学科中的基本组成部分，更是培养学生逻辑思维、抽象思维和问题解决能力的重要工具。在高中数学人教A版2019版教材中，函数的内容被系统地安排在必修第一册中，其中包括函数的定义、表示方法、基本性质以及应用等多个方面。通过函数的学习，学生可以掌握数学中的基本概念和技巧，培养数学思维和解决问题的能力。本文将从函数的表示方法入手，探讨如何通过这三种方法培养学生的数学思维。通过深入分析解析法、列表法和图像法的特点及其在数学学习中的应用，本文将揭示这些方法如何帮助学生理解函数概念、掌握函数性质，并提升解决实际问题的能力。

一、函数的表示方法

（一）解析法

解析法通过构建数学公式来阐述双变量间的依存关系，诸如函数y=2x+3便是一例典范。其优势体现在能明确且精确地界定函数关系，便于依据自变量值直接推导函数值，进而分析函数特性。在高中数学范畴内，它是探究函数特性的核心手段。通过解析法，学生可以清晰地看到函数的结构和关系，从而更容易理解函数的性质和变化规律。同时，解析法也是解决函数问题的基本工具，通过代入法、比较法、因式分解等技巧，学生可以求出函数的值、极值、零点等关键信息。

（二）列表法

表格呈现法利用构建表格的手段来展示两个变量间的关联性。其优势在于，即便不进行额外计算，也能直观得知自变量取特定值时，函数的相应取值，适用于自变量值的个数较少时使用。在实际生产和生活中，列表法有广泛的应用。通过列表法，学生可以直观地看到函数在不同自变量值下的取值情况，从而更容易理解函数的性质和变化趋势。同时，列表法也是解决一些实际问题的重要手段。例如，在经济学中，通过列出不同价格下的需求量，可以分析价格与需求量之间的关系，进而制定合适的价格策略。

（三）图像法

绘图法借助绘制函数图形来展现两个变量间的相互关联。该方法的长处在于能够生动且直观地揭示函数的变化动向，是融合数学与图形思维的关键展示。通过图像法，学生可以直观地看到函数的增减性、极值点、对称性等性质，从而更容易理解函数的本质和变化规律。在高中数学学习中，图像法是解决函数问题的重要工具。通过绘制函数图像，学生可以直观地分析函数的性质和变化趋势，从而找到解决问题的关键。同时，图像法也是培养学生空间想象力和直觉思维的重要手段。通过观察和比较不同函数的图像，学生可以培养自己的直觉判断力和空间想象能力。

二、函数表示方法对数学思维的培养

（一）归纳与演绎思维

归纳与演绎是数学思维的基本方法之一。通过归纳法，学生可以从具体实例中总结出一般规律；通过演绎法，学生可以从一般规律推导出具体实例。在函数的学习中，归纳与演绎思维得到了广泛的应用。例如，在学习函数的单调性时，学生可以通过观察和分析不同函数的图像和解析式，归纳出函数单调性的判断方法；在学习函数的极值时，学生可以通过演绎法推导出函数极值的求解公式。通过归纳与演绎思维的训练，学生可以更加深入地理解函数的性质和变化规律，提高数学思维的灵活性和创造性。

（二）数形结合思维

数形结合是数学思维的重要方法之一。通过将数学问题转化为图形问题，学生可以更加直观地理解数学概念和性质，从而更容易找到解决问题的关键。在函数的学习中，数形结合思维得到了广泛的应用。例如，在学习函数的增减性时，学生可以通过观察函数的图像来判断函数的增减性；在学习函数的极值时，学生可以通过观察函数的图像来找到极值点的位置。通过数形结合思维的训练，学生可以培养自己的空间想象力和直觉思维，提高数学思维的直观性和形象性。

（三）模型建立思维

模型建立是数学思维的重要方法之一。通过将实际问题转化为数学问题，学生可以建立数学模型来分析和解决问题。在函数的学习中，模型建立思维得到了广泛的应用。例如，在经济学中，学生可以通过建立需求函数和供给函数来分析市场价格的变化规律；在物理学中，学生可以通过建立运动方程来分析物体的运动规律。通过模型建立思维的训练，学生能够增进自身的抽象推理本领与难题攻克技能，从而强化数学思维的实效性及创造力。

三、函数表示方法在数学教学中的应用

（一）设计多样化的教学活动

教师可以通过设计多样化的教学活动，显著提升学生的求知热情与自发性，让函数学习过程变得充满趣味与活力。在探讨函数的单调性时，教师可以组织学生进行小组讨论，引导他们通过观察不同函数的图像和解析式，共同归纳出判断函数单调性的有效方法。而在教授函数的极值时，教师则可以采用演绎法，引导学生逐步推导出求解函数极值的公式，让他们在推理过程中深化理解。此外，教师还可以巧妙地将实际问题融入教学活动，如设计一些与日常生活或工业生产紧密相关的函数问题，让学生在解决这些问题的过程中，自然而然地理解和掌握函数的概念和性质[1]。这样的教学活动不仅锻炼了学生的思维能力，还培养了他们将数学知识应用于实际问题的能力。

（二）设计不同层次的练习题

教师可以通过设计不同层次的练习题来提高学生的数学思维能力和问题解决能力。例如，在教授函数的表示方法时，教师可以设计一些基础性的练习题来巩固学生的基础知识；在教授函数的性质和应用时，教师可以设计一些综合性的练习题来提高学生的思维能力和创新能力[2]。此外，教师可以策划一系列探索性的习题，激励学生开展深度思索与钻研，以锻炼其批判性思维及创造力。

（三）利用多媒体教学手段

教师能够运用多样化的多媒体教育资源，来充实课程的内容与展现方式，进而提升教学的成效及学生的学习速率。例如，在教授函数的图像时，教师可以利用数学软件或在线学习平台来绘制函数图像，让学生更加直观地理解函数的性质和变化趋势；在教授函数的实际应用时，教师可以借助多媒体教学资源，将实际问题的背景与场景生动展现，以激发学生的求知热情与探索意愿[3]。

四、结论

函数的表示方法是高中数学学习的核心内容之一，通过学习和运用解析法、列表法和图像法，学生能够更深入地领悟并把握函数的定义与特性，锻炼数学逻辑并提升应对问题的能力。同时，函数的表示方法也是数学教学的重要手段之一，通过灵活运用这些方法，教师可以通过策划多元化的教学互动与习题练习，激发学生的求知兴趣与自主学习动力，从而优化教学成果与学习速率。

参考文献

[1]李欣悦，陈兆英. 函数思想方法在初中数学教学中的应用研究 [J]. 中学数学研究（华南师范大学版）， 2022， （24）： 14-16.

[2]黄美蓉. 函数思想方法在中学数学教学中的应用 [J]. 考试周刊， 2016， （66）： 52-53.

[3]何学燕. 函数思想方法在初中数学教学中的应用 [J]. 数学学习与研究， 2014， （02）： 112.