高等代数与解析几何的教学思考与探索

摘要：高等代数与解析几何作为大学数学专业的两门重要的基础课，对学生学习后续课程非常的重要。本文主要从高等代数和解析几何的特点与关系出发，分析了高等代数与解析几何合并的必要性，以及合并后的教学内容以及教学方式的一些建议。

关键词：高等代数，解析几何，合并教学

随着我国高等教育改革，我国高等教育由以数量规模为追求的外延式发展，进入到了聚焦高质量的内涵式发展阶段。如何培养基础扎实、视野广阔、思维创新的终身学习型人才是当前教学改革的核心问题。作为大学数学专业的两门重要且基础课程，高等代数和解析几何不仅对学习泛函分析、近世代数以及微分几何等后续课程提供了理论基础，而且也是数学学科的重要基石，具有基础性的意义。因此如何让学生更高效的学习高等代数与解析几何课程是我们需要探索的课题。

1，高等代数和解析几何课程的教学背景。

在现大多数高校的教学体系中，高等代数所使用的教材是北京大学数学系几何与代数教研室代数小组王萼芳、石生明等编写《高等代数（第五版）》[1]，而解析几何的教材为由吕林根、许子道编《解析几何（第五版）》[2]，并且它们是作为两门课程进行独立授课。由于教授这两门课程是不同的任课老师之间缺少互相协调和配合，并且授课内容又互相独立，从而导致教学内容重复并且教学难度大大增加[3]。其次，对于学生而言，它们分开教学可能会导致学生无法充分理解它们之间的关系和应用。学生可能会错失掌握整体数学观念和技巧的机会。继而学习课程枯燥无聊，没有兴趣。这些因素在很大程度上，影响着我们实现既定的教学目标。

2，高等代数和解析几何课程的特点

高等代数主要涉及向量、矩阵、线性方程组、线性变换等内容。它研究的是在抽象的数学结构、代数运算规律的基础上进行的各种数学操作和计算方法。它具有抽象性：高等代数以抽象的方式处理数学对象，将注意力集中在结构和性质上，而不是具体的数值；符号化：高等代数使用符号和符号操作来表示和处理数学对象，例如矩阵和向量。这种符号化的表示方式有助于简化和通用化处理过程；线性性：高等代数主要研究线性结构和线性变换，其中线性指的是具有封闭性和可加性等性质。

解析几何是数学中的一个分支，它以代数的方法研究几何问题。它主要运用坐标系统，通过将几何问题转化为代数方程或不等式来进行研究和解决。通过引入坐标系，解析几何可以将几何问题转化为代数问题，从而可以利用代数的方法来解决。解析几何的研究对象包括点、线、曲线、曲面等几何图形，通过坐标和方程的运算，可以推导出图形的性质、关系和方程。

3，高等代数与解析几何的联系

高等代数和解析几何课程之间存在着紧密的联系。从历史的角度看，代数与几何的发展从来就是互相联系，互相促进的。实际上，高等代数为解析几何提供研究方法，解析几何为高等代数提供直观的背景。

3.1互为应用：高等代数提供了一种在抽象层次处理解析几何问题的方法，而解析几何为高等代数的研究提供了大量的实例和直观想象。比如线性映射概念的引入，使得解析几何中的空间旋转、拉伸、反射、投影等变换得以抽象为代数形式；而通过观察解析几何中的平面和立体图形，我们又可以获得对于线性方程组的深刻理解。

3.2同构对应：在很多时候，高等代数和解析几何可以看作是对同一种数学结构的不同视角，二者存在同构对应关系。例如，解析几何中的点和向量可以对应于高等代数中的实数和有序数对，解析几何中的线和平面与高等代数中的线性方程与线性方程组对应。

3.3统一框架：与此同时，随着矩阵理论和线性代数的发展，高等代数和解析几何已经可以被统一到一个大的理论框架中，通过使用行列式、向量空间、矩阵等工具，可以更深入地处理解析几何的问题，同样，解析几何中的几何直观也可以帮助我们更好地理解高等代数的抽象概念。

4，高等代数与解析几何合并教学的必要性

4.1，节省教学时间：高等代数和解析几何通常在大学阶段分别开设课程，各自都需花费较多的时间。将两者合并，可以省去一些重复的教学内容，提高教学效率。

4.2，加强学科间的联系：高等代数和解析几何虽然是独立的课程，但它们之间存在许多内在的联系。将两者合并教学，能更好地展现这种联系，帮助学生在知识体系间建立桥梁，形成独立且自洽的知识结构。

4.3，提高理解和应用能力：高等代数和解析几何的内容相互补充，相互印证。一方面，高等代数的内容可以为解析几何提供严谨的理论基础，帮助学生更深入地理解解析几何；另一方面，解析几何的直观性和自然性又能阐明高等代数抽象概念的具体意义，使学生更好地理解和应用高等代数。

4.4，培养创新思维：在同一课程中同时囊括高等代数和解析几何，可以更好地炼学生在不同解决问题模式间灵活转换的思维能力，培养他们独立思考和创新解决问题的能力。

4.5，促进学生对数学的认识：通过高等代数和解析几何的结合，可以让学生看到数学的全貌，不仅仅局限于个别的学科或者部分，有助于设定更高的学习目标，培养更广泛的数学视角。

5、高等代数与解析几何合并教学的建议

5.1，教学内容：高等代数与解析几何的合并教学，并非是单一的把这两门课程的内容拼凑在一起，而是要遵循知识的内在关系以及客观规律，将重叠的教学内容进行精简，从而实现两者间的有机融合。其次，在课程整合过程中，我们还需要兼顾代数与几何间的关系，需要借助几何的背景来理解代数，更需要运用代数的方法来解决几何问题，从而实现代数与几何知识的互融互通[4]。

5.2，教学方式：首先，高等代数与解析几何计重度大、强度高、理论性强是普遍存在的问题。信息化时代，我们应加强课程实践性，对课程进行现代化改革，将传统的“知识传授型”教学模式转变为“研究性学习型”或“问题解决型”教学模式，将教育的重点放在发展学生的思维能力和实践能力上，提高他们解决实际问题的能力。其次，我们也应该重视在线教育资源的利用。对于线上教学资源，我们应结合教学实际，逐步建立和完善适合大学生自学的网络课程，制定出可操作性强，针对性强的自主学习指导方案。然后，课程评价方式也是教改的关键环节。应以学生主体性为依据，取消过于依赖考试成绩的评价方式，逐渐探索出更加合理的，能体现学生真实学习效果的评价方式，如：开设研讨课、短论文、小组讨论、课程项目等方式。最后，教师队伍建设不能忽视。强化应用能力是教学的一项重要内容，但同时也应让教师树立先进的教育教学观念，提高他们的教学技能和素质。只有当教师趋向于专业化，才有可能提高教学质量。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数［M］．北京： 高等教育出版社，2003.

[2]吕林根，许子道.解析几何［M］．北京： 高等教育出版 社，2006

[3]徐引玲.高等代数与解析几何合并教学的深入探讨[J].考试周刊，2018（22）：91.

[4]陈志杰．高等代数与解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2000.

通讯作者：张博儒（1990-），博士，

基金项目：广西师范大学教育教学改革与建设立项项目：高等代数与解析几何在线上线下混合式教学下的研究与实践（2021JGZ16）。