Geogebra 可视化教学发展数学核心素养的研究

前言

《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》明确指出“信息技术在教学中应用广泛，应注重信息技术与学科的融合”[1]。Geogebra 作为一款功能丰富的动态教学软件，能够将文字描述的概念、命题转化为可视化的数学模型，使教学内容可视化、动态化，有助于学生进行深度学习，发展学生数学核心素养。

双曲线作为高考数学重点考查的内容之一，其知识体系蕴含着丰富的数学思想，能够在探究定义和方程推导这一过程中发展培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。我国高中数学教材在“双曲线及其标准方程”这一节中还安排了运用信息技术进行可视化演示探究双曲线定义的过程，旨在引导学生在知识动态生成的过程中抽象出数学的本质，但在实际课堂教学中，部分教师迫于各种束缚，不能将信息技术与教学完美的融合起来，导致学生对知识的理解不深刻，难以真正培养学生数学核心素养。因此本文以“双曲线及其标准方程”为例，探究在高中数学教学中，如何利用 Geogebra 软件进行思维可视化，发展学生的数学核心素养，助力构建高效的数学教学课堂。

一、Geogebra 可视化教学

数学可视化教学指用丰富多样的视觉表征形式（图形、图象、动画等），将抽象的数学学习内容以形象直观的方式呈现出来，可以帮助学生在有限的时间内获取尽可能多的数学信息，从而更好的理解数学本质。可视化教学的关键在于如何利用可视化技术构建“图式”，对数学对象进行有意义的阐释，进而推动思维深化。

可视化教学依赖有效的可视化工具，Geogebra 软件可操作性强，具有强大的动态演示功能，可以构建各种可视化情境，增强学生的理解能力。随着信息技术与学科教学融合不断深入，不少学者开展可视化与 Geogebra 的关联研究，钟小玲、黄金雄借助可视化技术，探讨了Geogebra 辅助教学的案例，表明借助可视化教学可以有效降低学生的认知负荷，提高教学效率与教学质量[2] ；杨慧等人基于Geogebra 数学可视化教学的内涵以及Geogebra 环境下高中数学教学内容的分析，提出三个Geogebra 融入高中数学教学的递进层面：解决基本问题的教学、渗透思想方法的教学、注重综合应用的教学[3]。由此可见，利用信息技术进行数学教学已成为常态，在数学教学中利用 Geogebra 软件进行可视化教学，更有利于学生抽象数学本质，发展数学核心素养。

二、Geogebra 可视化教学发展数学核心素养教学设计

1. 教学内容分析

本节课内容选自《高中数学人教版 A 版选择性必修一（2019 年修订）》第三章第二节第一课时双曲线及其标准方程。本节课之前，学生已经学习了椭圆的相关知识，可以类比椭圆的研究方法，探究双曲线定义和推导方程。学习双曲线不仅是对椭圆知识和方法的巩固和深化，更为进一步学习抛物线奠定良好的基础。除此之外，双曲线还在导航与定位系统、建筑结构等方面应用广泛。因此，本节课不仅在知识上具有承前启后的作用，还具备现实意义。

2. 学生学情分析

知识基础方面，学生已经学习了椭圆的定义及其标准方程推导，对利用数形结合和坐标法研究曲线方程具有一定的认识和体会。但学生可能在区分双曲线定义中的关键条件存在困难，同时方程的化简涉及到复杂的根式运算，部分学生可能会出现计算错误和化简思路不清晰的情况。学习能力方面，高二学生整体思维活跃，敢于创新探索，初步具备提出问题、解决问题的能力。但部分学生的逻辑推理能力和自主学习能力还有待提高。

（1）引导学生经历从 Geogebra 中丹德林双球模型衍生出双曲线定义的过程，体会转化思想；归纳并运用数学语言提出猜想，培养直观想象素养。

类比椭圆方程的推导过程， 理解证 明双曲线标准方程的 体会数形结合和 逻辑推理素养（3）掌握双曲线的定义及标准方程，并用所学知识进行简单计算，提升数学运算素养；在复杂问题中构建双曲线方程，提高数学建模素养。

4. 教学重难点

教学重点：双曲线的及其标准方程的简单运用教学难点：双曲线的形成及其标准方程的推导

5. 教学过程（1）创设问题情境

问题 1 ：早在 2000 多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用纯几何的方式，通过平面切割圆锥来研究圆锥曲线，现在让我们借助Geogebra 软件，看看能切割出哪些圆锥曲线呢？师生活动：教师提出问题，借助Geogebra 软件为学生展示圆锥曲线的由来：用垂直于圆锥高的平面去截圆锥，得到圆，把平面渐渐倾斜得到椭圆，再逐渐倾斜，在某个特定位置会得到抛物线，进一步倾斜，就得到了双曲线。

图 1

【设计意图】利用现代信息技术帮助学生从纯几何角度了解双曲线，激发学生探究双曲线定义的兴趣，提升学生直观想象素养。追问1 ：我们已经知道平面与圆锥的截线可以是双曲线，我们能类比上节课丹德林证明椭圆的过程，确定所截的曲线一定是双曲线呢？追问2 ：既然双曲线和椭圆都是圆锥曲线，探究双曲线吗？【设计意图】利用问题链的形式，明确本节课的核心内容，同时将学习内容通过类比的方式引导出来，让学生体会数学知识的逻辑连贯性。

（2）双曲线定义的探究

问题2 ：如何类比数学家丹德林证明椭圆的过程，借助丹德林双球来证明平面所截曲线一定是双曲线呢？

师生活动：如图2 所示，教师利用Geogebra 软件演示丹德林双球作图过程：首先在圆锥的上方和下方各自引入两个球体，球体与截面相切产生2 个双曲线的焦点F1、F2，与圆锥相切产生2 个圆，并在双曲线其中一支上任选一点P，连接PF1 和PF2。【设计意图】唤起学生对丹德林双球证明椭圆时的认知，实现新旧知识自然衔接，帮助学生更直观地把握双曲线定义探究过程中的核心要素，引导学生主动参与证明过程中。

追问1 ：类比椭圆定义的探究过程：在椭圆中，|PF1| 与|PF2| 长度之和为定值，双曲线中|PF1| 与|PF2| 有什么关系呢？预设学生回答：双曲线中与的距离之差为定值

师生活动：教师借助 Geogebra 软件验证学生猜想。如图 2，首先过圆锥顶点和点作圆锥的一条母线，和上切圆交于点 N，和下切圆交于点 M。因为球外一点引球的切线，切线长相等，所以 |PF1|=|PM|，|PF2|=|PN|。又因为 |PM|-|PN|=|MN|。等量代换，得到 |PF1|-|PF2|=|MN|。其次当截面确定时，|MN| 为定值，则 |PF1|-|PF2| 为定值。相应的，当点在双曲线的另外一支上，满足 |PF2|-|PF1|=|MN|。综上所述，双曲线轨迹的满足条件为 ||PF1|-|PF2||=|MN|，其中 |MN| 为定值。

图 2

【设计意图】教师利用数学模型丹德林双球验证学生猜想，让学生更直观理解双曲线的形成过程，降低学生对抽象概念的理解程度。追问2 ：你能否用精确的数学语言抽象概括出双曲线的定义？师生活动：教师引导学生归纳概括出精确的双曲线定义： 平面内与两个定点距离之差的绝对值等于非零常数（ 小于 |F F |） 的点的轨迹同时教师强调非零常数的范围，与椭圆定义作对比。

【设计意图】借助丹德林双球模型，经历从直观到抽象的思维过程，得到双曲线的定义，发展学生的直观想象素养。（3）双曲线标准方程的推导

问题3 ：在椭圆标准方程的推导过程中，我们使用了坐标系和数形结合的方式，那怎样选取合适的坐标系求解双曲线的标准方程呢？

【设计意图】创设双曲线真实应用情境，让学生经历建模、分析、计算的完整流程，在实际问题解决中培养学生数学运算和数学建模素养。（5）双曲线知识小结教师提出问题引导学生总结本节课所学：问题4 ：借助丹德林双球，进而直观得到双曲线定义的过程是什么？问题5 ：运用坐标法和数形结合，推导出双曲线的标准方程过程是什么？问题6 ：本节课在学习过程中，渗透了哪些重要的数学思想方法？【设计意图】从知识内容、研究思路和数学思想方法等方面对本节课进行小结，培养学生的归纳总结能力，巩固探究发现的基本思路，深化数学思维和研究方法，落实数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。

三、结束语

综上所述，我们发现在高中数学课堂上采用 Geogebra 软件进行可视化教学设计，有助于将抽象的数学知识化为直观，多角度表征数学信息，切实发展学生直观想象、逻辑推理和数学建模素养。这种可视化教学模式，通过情境创设与动态演示，有效激活了学生的空间想象与几何直观能力，为核心素养的落地提供了可行路径。未来，信息技术与数学教学的深度融合仍需持续探索，作为一线数学教育工作者，需进一步挖掘 Geogebra 等数学工具在揭示数学本质、促进思维发展中的潜力，让学生感受数学魅力，提升学生核心素养。

参考文献

[1] 中华人民共和国教 育部. 普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）[M]. 北京： 人民教育出版社，2022.

[2] 钟小玲 ， 黄金雄 . 信息技术下的中学数学可视化教学——以 GeoGebra、几何画板辅助教学为例 [J]. 中学数学研究 （ 华南师范大学版 ），2021，（12）：53+1-3.

[3] 杨慧 ， 韩龙淑 ， 王文静 . 基于 GGB 的高中数学课程可视化教学研究 [J]. 教学与管理 ，2023，（28）：33-36.

基金项目：安徽省高校杰出青年研究项目（2022AH020082）；阜阳师范大学“教师教育改革与创新研究协同质量提升计划”项目（2024 XTTZX M06）。

作者简介：张子悦（2000-），女，山东德州人，硕士研究生，研究方向：学科教学（数学）；郝云力（1984—），男，人，阜阳师范大学副教授，硕士研究生，硕士生导师，副教授，研究方向：生物数学和模糊控制； 熊江玲（2000-），女，湖南张家界人，硕士研究生，研究方向：学科教学（数学）。