群的直积和作用力的统一

摘要：介绍了群论中直积约化和分解的概念，阐述了元子和引力子的理论，引进了弦论、膜论和块论。从直积的约化和元子的理论出发，对弦论中的膜论和对称群中的引力理论群进行了对比，得出了11维膜论实际上就是四种基本作用力对称群中的引力理论。从对比中可以看出，膜论是必然存在的。但它不是四种作用力的大统一理论。而对称群，则是四种作用力的大统一理论。

关键词：群论；直积约化；直积分解；弦论；块论；元子；引力子；对称群；大统一

0 引言

自然界有4种相互作用。除了引力相互作用和电磁相互作用外，还有强相互作用和弱相互作用。这4种相互作用能不能在一定条件下，得到统一的说明？

大统一理论是当代物理的前沿课题。众多数学家和物理学家进行了长期、多方面的探索与研究，得到了一些有益的结果。但仍未取得根本性的进展。

群论是近代重要的数学分支。而弦论则是当代重要的物理分支。本文从群论和弦论出发，探讨当代重大的物理问题，即四种基本相互作用的大统一的问题。

1 群论的直积和约化

群论中的直积和约化，是群论中的重要内容，并在物理学等领域中，有广泛的应用。在物理学中，设有四种基本作用力的统一的对称群。其直积分解为：

群是相角因子群，是1阶幺正矩阵群，是一个对称群。一个系统在某个群的操作下，保持不变。对于群，有：

其中，为在复平面的转动角。可描述二维转动。其生成元只有一个转角。群具有规范对称性。群描述电磁相互作用，生成元只有一种，即光子。在系统的带电的粒子之间，必然存在电磁相互作用。电磁相互作用必须通过规范粒子——光子来传递。在物理上，对称性对应着电荷守恒。

群论中有一个著名的公式，。其中左边是行列式。是生成元矩阵，为厄米矩阵。用矩阵指数生成了等式左边的矩阵。右边指数上的就是矩阵的迹。当时，。如果要求矩阵的行列式，则必须要求矩阵的迹为。在特殊变换即幺正变换中，为保持变换前后矢量的长度不变，要求变换矩阵的行列式为1。这也等于要求其生成元的迹为0。

奥地利物理学家W·泡利提出了所谓的泡利矩阵。泡利矩阵是一组3个的幺正厄米复矩阵，以希腊字母表示。在泡利表像中，可以写成：

在标准模型中，在讨论群和弱相互作用时，要用到这3个泡利矩阵。从式（3）可得，。其中为单位矩阵。从上述关系可以推得，每个泡利矩阵的本征徝分别为。泡利矩阵的行列式和它们的迹分别为，，。此外有：

上式又称为第零号泡利矩阵。的迹为2。将代入式，其，。这不符合以上的要求。

从上可见，每个泡利矩阵有两个本征值，和。其对应的归一化本征向量为：

以上式（3）的3个矩阵和式（4）的单位矩阵，可以作为矩阵的四个基矢。式（4）的虽不符合的要求，但在相关的计算中，还是有诸多的用途的。

按现代量子场论的观点，粒子之间无论距离多近，其作用都应用它们之间的场来描述。对于弱相互作用，物理学家们也考虑，建立一个基于量子场论的作用机制。和电磁相互作用类似，在弱相互作用中，粒子之间传递作用力的，也是玻色子。这是两个费米子之间相互作用，而产生另外两个费米子的过程。弱相互作用涉及到的中间玻色子有3种。其中带一个单位正电，带负电、不带电。根据中间玻色子带电与否，弱相互作用表现为两种形式，即核聚变、衰变的载荷流弱作用和通过交换而发生的中性流弱作用。

从数学模型的意义上，可以认为，一对费米子是某一种虚假费米子的不同状态。这两个不同状态用不同的“弱同位旋”的数值或来表示。可以类比于电子的自旋，弱相互作用的对称性，可用群来描述。

据上，弱相互作用是群。此群为的无迹矩阵，可用3个线性无关的矩阵作表示。其生成元有3种，对应于弱相互作用理论假设的3个中间玻色子。

③群。

电磁场的规范对称性用群表示。但群包容不了参数更多的群。一个群也没有足够多的自由度，来容纳两种相互作用。人们设想，像电磁作用是通过规范场——电磁场即光子来传递一样，弱相互作用也是由规范场来传递的。为此，可用这两个群的直积，将两者从形式上统一在一起。即可用群，作为统一描述弱相互作用和电磁作用的规范群。

弱电统一理论得出的玻色子是个。其中弱作用3个，电磁作用1个。

④群。

物质只有所谓的引力电荷。电磁也只有两种电荷，即正电荷和负电荷。相同电荷相互排斥，相反则相互吸引。物体可以拥有任意大小的电荷，并且只需一个粒子即光子，即可介导所有可能的电磁相互作用。

在宇宙中，强子是由夸克组成的。夸克之间的作用力是强力，俗称核力。核力比引力和电磁力强得多。当人们研究核力时，规则就根本不同了。除了一种类型的引力电荷或两种类型的电磁电荷，还存在3种强核力的基本电荷，即所谓的颜色。

颜色遵守以下规则：①夸克都含有一种颜色，每个反夸克都有一种反色。②每种胶子都带有颜色，胶子有颜色和反色。③夸克交换胶子，就是它们形成结合态的方式。④颜色加上其反色是无色的。所有三种颜色或反色加在一起，也是无色的。⑤每种组合不能拥有任何类型的净作用，仅允许无色的状态。这些规则可帮助人们了解，质子和中子等粒子是如何结合在一起的。

在自然界，质子和中子等，每种存在的组合都必须是无色的。假设夸克有一种红色、一种绿色和一种蓝色，反夸克则有一种青色——反红色、一种品红色——反绿色和一种黄色——反蓝色。

传递电磁力的粒子是光子。一个带电粒子发射一个光子，并由另一个带电粒子所吸收。传递强核力的粒子为胶子。每个胶子都由一个夸克或反夸克发射，并被另一个夸克或反夸克所吸收。胶子是介导强大核力的粒子。这和电磁遵循的规则相同。但和只具有一种类型的吸引性正电荷的引力，或和具有吸引或排斥的正电荷与负电荷的电磁体，大为不同。引力本身不会改变所涉及的粒子的质量或能量，电磁不会改变彼此吸引或排斥的粒子的电荷，但夸克或反夸克的颜色或反色，每次都会发生改变，并由此产生强大的核力。

在自然界，有3种可能的颜色，3种可能的反色。夸克和反夸克各具有3种颜色与3种反色。胶子亦有颜色和反色。每种可能的颜色—反色的组合，代表一种胶子。，从而可能会有9种胶子。

然而，物理世界却是按照不同的物理规则。夸克发出胶子，改变其颜色，然后胶子被另一个夸克吸收，改变其颜色。如果有3个胶子，一个红色，一个绿色和一个蓝色，那么，其总和为无色。还有与之相应的3种反色。人们可视为质子等内部发生的情况。那么，可能发生交换的有6个胶子，形成具有颜色、反色组合的6个胶子。这是否意味着只有6个胶子，而另外3个胶子在物理上不存在？也不完全是。在量子物理学中，具有相同量子态的粒子或粒子组合，可全部混合在一起。虽然不能拥有纯的"红—反红"或"绿—反绿"等，但可具有混合的状态，出现部分是红—反红、部分是绿—反绿，甚至是蓝—反蓝的状况。但也不是3个。由于强力的特殊特性，还有更多的限制条件。对于3种可能的颜色、反色的组合，只能有两个独立的配置，出现两个叠加态。这是两个颜色、反色彼此之间的混合，且在它们之间，有一个负号。就是说，无论将哪种颜色用作单色的反色组合，都需要使用不同颜色的反色。只有这样，才能拥有真正的胶子。因此，只有2个这样的组合。

唯一允许的其他组合，是无色的。此即所谓的第9种胶子。但是，人们不能获得这第9个胶子。因为，所有颜色、反色均为正值，与之对应的胶子，不能满足物理粒子所应具备的标准。

综上，其结果是，只有8个胶子。

应用群论的术语，胶子矩阵是无迹的。这是特殊的和之间的差别。如果强力是由而不是控制的，则将有一个额外的、无质量的、完全无色的胶子，其粒子的行为类似于第二个光子！但在宇宙中，只有一种类型的光子。因此，只可能有8个胶子，实验也告诉人们，不可能存在期望的9个胶子。

标准模型在群论中，有着很好的描述。强相互作用是群，生成元是的矩阵。和不同，要求生成元是无迹的。加上这一条件，任何的无迹矩阵，都可用8个线性无关的矩阵进行表示。所以，生成元只有8种，对应8个胶子。这是8种胶子的群论解释。但是，为什么强相互作用是群？只能说，实验做出来的就是这样。为什么这样，也没有一个可令人接受的很好的解释。

现在，从数学物理的角度，再来考虑组合的问题。如果将红、绿、蓝3种颜色分别用、、表示，3种反色则以、、表示。从这些颜色出发，可以形成9种互相独立的组合。这些组合可以分成为两组，分别是8个组合的颜色和单重态的颜色。见下式（7）和（8）。

从上可见，如果作为单重态的第9种胶子存在，那它跟其他8种胶子会有一个重要的区别，这就是，它可以作为自由粒子而存在。如果第9种胶子能够作为自由粒子存在，其质量为零，并传递强相互作用，那强作用就会是一个长程相互作用。这和实验的结果是不相符的。这就是所谓只存在 8种胶子的原因。

2 元子和引力子

在物理学中，只有几个基本力。每个基本力都由自己的规则支配。在引力中，只有一种载荷——质量/能量。它总是具有吸引力。它可以拥有多少的质量/能量，没有上限。每个量子，无论它是否具有静止的质量，例如，存在静止质量的电子或似乎不存在静止质量的光子，都会弯曲空间的结构，从而导致引力的现象。如果说，引力本质上是量子，那么，只需要一个量子即引力子，就可承载引力了。

问题是，如同其他所谓的基本粒子，这种引力子还是有结构的。我们得出，所有所谓的基本粒子，都是由原初粒子——元子组成的。元子以表示。元子是一种亚夸克，是最原始的基本粒子。元子具有两种不同的状态，称为阴态和阳态。阴态表现为阴子，阳态表现为阳子。阴子和阳子都是费米子。阴子和阳子的质量、自旋等皆相同，阴子和阳子的质量为。其自旋量子数。阴子的，以表示。阳子的，以表示。阴子和阳子所带电荷的符号相反。阴子的电荷为负，，右下角的指标表示阴子；阳子的电荷为正，。表示阳子。但其绝对值是相同的。由此可见，阴子和阳子是元子的两种不同的荷电态。而元子数，则为阴子数与阳子数之和，即。

此外，阴子和阴子、阳子和阳子、阴子和阳子之间，传递相互作用力的媒介粒子称为粘子，以表示。粘子传递的相互作用力称为粘力。电子等轻子的半径为。粘子作为亚夸克之间相互作用的媒介子，其力程应当在这一范围之内，是极短的。粘子将阴子和阳子牢固地结合在一起，其作用力是一种极强力。而且和亚夸克所带电荷的正或负无关。粘子的质量为，自旋为，电荷为。

这个组合的颜色为零，是一种自由的粒子，不易在物质粒子之间，发生相互的作用。

据上，为符合要求，引力子有种组合的形式。此数正是弦论、超弦和膜论中，膜论的维数。但这里的引力子的第12态，可能并不同于胶子的第9态，也可能不同于中间玻色子的第4态。胶子和中间玻色子传递的，都是短程力。引力子的第12态可能类似于光子。因为引力子和光子传递的，都是长程力。因此，引力子的第12态，也许是存在的。

3 弦论、膜论和块论

对于引力子的12态，也可从弦论得到印证。弦论认为，基本对象不是占据空间单独一点的基本粒子，而是一维的线。这线或是一条线段，称作开弦，或是一个循环，称作闭弦。弦可以振动，而不同的振动态，就表现为不同的粒子。

①弦论

1968年，意大利物理学家G·维纳谢厄诺要找能够描述原子核内强作用力的数学公式。他翻了一本老旧的数学手册，找到有200年之久的欧拉公式。这公式能够成功描述他要求解的强作用力。同时发现，一个简单的函数能满足对偶性。人们也发现，这个简单的公式可以自然地解释为弦和弦的散射振幅。于是，由此公式，发现了弦理论的雏形。其后，美国理论物理学家L·苏士凯得进一步，将欧拉公式理解为一小段可扭曲抖动的有弹性的线段。这一发现，在日后则发展出所谓的弦理论。弦理论支持一定的振荡模式，或者共振频率。这正如小提琴上的弦。因此，将其称之为弦论。

弦理论的数学方程要求空间是9维的，再加上时间维度，总共是10维时空。人们希冀，通过弦理论， 可以描述物质的构成，统一四种相互作用力，和融合量子力学与广义相对力学。经过众多数学家和物理学家长期不懈的努力，弦理论获得了重大的进展，逐渐成为一门前沿的科学。共产生了包含I型弦、IIA型弦、IIB型弦、O型杂弦SO（32）、E型杂弦E8×E8，计5个类型的弦理论。其间，还产生了11维的超引力理论。

②膜论

1995年，犹太裔美国数学家、物理学家E·威腾得出，这些包含5个版本的弦理论和超引力的理论不分伯仲，它们都是相同事物的一部分。他展示了这6个理论模型中的一个转化为另一个的方法。这意味着，这6个理论都是某个基本理论的不同方面。

威腾揭示了弦理论第10维空间的方向。他在弦理论10维时空中9维空间的基础上，增加一维空间，变为10维的空间。加上时间，成了11维的时空。他将这个能够包含5个版本弦理论和超引力理论的基本理论，称为膜论。膜的英文为membrane，采用大写的第一个字母，故此理论又称为M理论。

在M理论中，弦的概念转化为膜的概念。现实的基本构成不再是弦，而是膜。膜只是用来形容多维振动物体的一个词。M理论中充斥着各种不同维度的膜。膜论又表述为d膜。字母d是英文dimension的第一个字母，表示维度。膜是一个二维的片。在数学语言中，一个点是0－膜，一条线是1－膜，一个面是2－膜，维度再往上是3－膜，甚至到更高的维度。它们一般用d－膜表示。也就是说，其中的d可以是任何的数字。

③块论

M理论是超弦理论的升级版，它开启了弦理论的二次革命。该理论认为，弦也可能不是自然界最基本的单元，而膜才是最根本的单元。

在M理论中，一个粒子因为无穷小而且没有维度，只是一个点，称为0位膜；一根弦因为是一维物，只有长度，称为1位膜；一片膜有着长度和宽度，称为2位膜；而所谓的一种物因为具有长度、宽度和高度，则称为3位膜。

通常的宇宙空间是三维的，有三个垂直的方向，可以移动。然而，一些理论提出了另一个空间维度。因为它在另一个垂直方向，我们无法直接感知到。这是一个四维空间，也是一个高维空间。这个高维空间称为“体”，而我们的宇宙是一个漂浮在该体内的三维薄膜。也就是说，三维膜加上另一个与其垂直的维度，构成了高维空间的“体”，还有更高维度膜再加上另一个与其垂直的维度所构成的“体”。

还有一些科学家认为，宇宙是12维的，其中的8维卷曲成了原子，而另外的4维，形成了一个有边无界的球状宇宙。在威腾11时空10维空间的方向加1维，变为11维的空间，加上时间，成为了12维的时空。即在膜论上加1维。亦即d取12。这实际上是一种“体”。有人认为，实际上，这种“体”是一个“三维”的“块”。这个时空理论可称之为“块理论”。

块论则是膜论的升级版。块理论的提出，或许开启了弦理论的三次革命。块论认为，膜也可能不是自然界最基本的单元，而块才是最根本的单元。引力子的12态，正和块理论的12维相对应。

4 引力强度的量级

在引力子组分的组合方式中，0态只占总的组合方式的12分之1。由于具有各色的各组分的组合是任意的，其总的组合方式有，。引力大小按距离平方反比率。鉴此，其0态所占比率为，。同时，引力作用和引力常数有关，引力常数。结合以上0态的比率和G的数值可得，引力的耦合强度为：

从上式可知，引力的强度是极弱的。

在自然界中，原子核具有特殊的地位。在原子核中，同时存在着核力、弱力、电磁力和万有引力这四种基本作用力。因此，选用原子核中的粒子一一质子，比较相互作用力的强度，是较为合适的。

从上可见，两者的结果几乎是完全一致的，且和实验的结果相符合。

而对于d－体物质的密度，则应是体现引力强弱的程度。

总之，一个自然的可能是，也许存在和我们所观测到的3个空间维数相垂直的其它的空间维数，这些额外的空间维数，曾经是现在仍然是很小和高度弯曲的存在。如果这些维数的尺度足够小，以我们现有的观测手段，仍然是不能观测到它们的。

5 群和群

如上所述，4种基本相互作用共有个24个媒介粒子。媒介粒子也叫规范粒子。它们是光子， 3个中间玻色子、和8个胶子，与其12种状态的引力子。

对于以上这些4种基本作用力的规范粒子，如（1）所示，可以表示为统一的对称群。其式（1）的群的直积分解为：

6 结论

从上可以看出，11维膜论实际上就是4种基本作用力对称群中的引力理论。从群论的角度看，膜论是必然存在的。但它却不是4种作用力的大统一理论。而这4种相互作用力的对称群，才是4种作用力的真正的大统一理论。

Abstract： This paper introduced the concepts of direct product reduction and decomposition in group theory， expounds the theory of origin's particle and graviton， and introduces string theory， membrane theory， and block theory.Starting from the reduction of direct product and the theory of elementary sub， this paper compares the membrane theory in string theory with the gravitational theory group in symmetric group ， and concludes that the 11 dimensional membrane theory is actually the gravitational theory in the four basic force symmetric group . It can be seen from the comparison that the membrane theory is inevitable. But it is not a unified theory of the four forces. Symmetry group is the grand unified theory of four forces.

Key words： Group theory; Direct product reduction; Direct product decomposition; String theory; Block theory; Origin's particle; Graviton; Symmetric group; Grand unification

CLC number： O572  document code： A

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作者简介： 朱临（1947-），男，大学专科，政工师，主要从事粒子物理、热力学和宇宙学等的研究．