基于生长数学 聚焦通法教学

一、问题背景

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本生活经验，发展学生运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力。可见初中数学教学主要通过教师合理有效的教学设计，培养学生良好的思维习惯，逐步形成核心素养。下面笔者以“二次函数背景下锐角三角比求法探究”中考专题复习课为例，结合学生实情、教材特点和考试要求，用问题串驱动学生主动思考，发展学生思维。

二、教学过程

（一）问题引入，巧作基石

问题1 ：在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线的表达式为 y=x²-2x-3 ，你能得到什么？

设计说明：二次函数图像上有一些特殊点（与x 轴的交点、与y 轴的交点、顶点），抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标、变化情况等基本特征都非常重要，为后续解决问题提供基础。

学生1 ：可以求出与x 轴和与y 轴的交点坐标。

追问1 ：如何求图像与x 轴和与y 轴的交点坐标？

学生（众）：令y=0 代入函数解析式求出x，就可以得到与x 轴的交点坐标；令x=0 代入函数解析就可以得到与y 轴的交点坐标。

学生2 ：知道抛物线开口向上，也可以求出顶点坐标和对称轴，还可以确定它的变化情况。

追问2 ：如何求抛物线的顶点坐标和对称轴？

学生（众）：我们可以先将一般式转化为顶点式，从而得到顶点坐标和对称轴

问题2 ：如图1，如果抛物线y =x²-2x-3 分别交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 点，且其顶点为D，求出这些点的坐标后，你可以求出什么？设计说明：已知平面直角坐标系中任意两点坐标，会用两点间距离公式求出线段长，继而求出三角形的周长和面积，这是解决几何计算问题常用的方法。

学生3 ：可以求出联结A、B、C、D、O 任意两点的线段的长度。

学生4 ：可以求出 的周长和面积。

（二）发散式问题，拓展思维

问题3 ：如图1，你可以求出图中哪个角的正切值？如何求？

设计说明：开放式问题通常没有唯一的答案，可以鼓励学生从多个角度思考问题，深入挖掘数学概念的本质和应用，从而促进对知识的深度理解。学生可以观察图形，先找本身在已知直角三角形中的锐角，再找能证明是在直角三角形中的锐角，如果所求角不在直角三角形中，可以作高构造直角三角形或等角转换。

追问 ⁴ ：已知什么条件可用双勾股求高呢？

学生（众）：已知一个一般三角形的三边长都可以用双勾股求高。

追问5 ：大家还有其他方法吗？

学生 11 ：我们可以利用特殊角 45° 求高．因为在 Rt∆ABH 中，已知 AB=4，∠ABH=45°， 可以用 ∠ABH 的正弦值求AH 的长，用∠ABH 的余弦值或勾股定理求AH 的长，再用BC-BH 求CH 的长，最后可求∠ACB 的正切值。追问5 ：在什么条件下会出现45° 角呢？

（五）开放式作业，发散思维

必做题：1.（2021 年静安二模第 24 题）

已知在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），经过点A的抛物线 y=x²+bx+5 与y轴相交于点B，顶点为点C。

（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；

（2）求∠ABC 的正弦值。

2.（2017 年上海中考第 24 题）

已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线 y=-x²+bx+c 经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为点B。

（1）求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；

（2）点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m 的代数式表示∠AMB 的余切值。选做题：如图6，如果抛物线 y=x²-2x-3 分别交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 点，且其顶点为D，可以添加一条线段，请你提出一个问题，并尝试解决。

三、教学思考

（一）基于认知起点 问题驱动激发兴趣

在上海各个区的一模、二模和中考试卷中，24 题经常考查二次函数与锐角三角比及相似的综合运用，第二、三问求锐角三角比的概率很大，所以设计了这节课。在问题 1 到问题 4 中，教师根据学生的认知规律，设计二次函数图像上的特殊点到利用两点间距离公式求线段长，再到图形的周长、面积，最后到角的三角比的求法，由点到线到面层层递进，引导学生去发现问题、解决问题。问题 3 和问题 4 设计所求角在直角三角形中、要证直角三角形、作高构造直角三角形、到用含字母代数式表示锐角三角比，从无参到含参层层递进，由特殊到一般，逐步渗透方程思想、化归思想及数形结合思想，增强学生解决 24 题二次函数综合题的信心。通过设计由简单到复杂的发散性问题，让学生主动思考，提高学生学习兴趣，点燃学生学习数学的希望之火。

（二）关注通法教学 习惯思维解决问题

本节课考查了二次函数图像特 背景下锐角三角比求法策略。在问题 3 和问题 角比，不在直角三角形中作高构造直角三 用求高的方法：面积法、特殊角 45°、双勾股 的通用性质和方法是其强大而灵活的力 纳法来构建通用的解决方案，通过建立模型 和分析。所以在日常教学中，教师要引导 要求它（或证明它）有哪些方法、有哪些常见的辅助线， 学生的数学思维能力。

（三）重视作业环节 分层设计拓展思维

作业设计是教育过程中的重要 学生巩固和深化知识，还促进了多种技能的发展， 市二模与中考题，是 24题的第一 试奠定基础，增强学生学习信心。选做题 计强调灵活性、创新性，要求学生对所 认识到自己的强项和改进空间，促进自我评 差异化，提供适合不同水平和学习风格的任务， 要经历复习巩固、创新迁移等思维过程，这有助于培养他们的抽 批判性思维能力。