数形相融·变中寻理

引言

当前初中数学教学面临几何直观与代数推理割裂的问题，学生在面对动态图形时难以建立数量关系，导致解题困难。新课标强调数形结合的核心价值，要求教师引导学生在图形变化中发现规律，并用代数方式表达。为此，基于认知发展理论与数学建模思想，探索如何将动态几何转化为可量化、可推理的代数过程，从而提升数学核心素养，推动教学从知识传授向能力导向转型。

一、数形结合思想、动态几何图形和代数推理模型的概念

数形结合思想在初中数学中体现为借助几何直观理解抽象代数关系，如利用函数图像解析变量间的对应规律，通过坐标系将代数式转化为图形轨迹，实现“以形助数、以数解形”。动态几何图形的典型特征包括点动、线动与形变三类，其本质是图形元素在时间或参数变化下的连续演化过程。点动指某点沿路径移动形成轨迹，如动点 P 在直线或曲线上运动时引发距离、角度等量的变化；线动表现为线段或射线绕定点旋转或平移，常用于构建面积函数模型；形变则指图形整体形状随参数变化而发生相似变换或全等变换，如三角形在边长比例不变下扩展或收缩。这些特征为建立代数关系提供了直观载体，是培养学生空间观念与函数思想的重要切入点。代数推理模型的内涵在于构建从具体情境中提取数量关系、抽象出变量规律并建立数学表达式的全过程，体现“观察—抽象—建模—验证”的思维路径。学生通过图形动态变化识别不变量与变量，继而用字母表示相关量形成代数式，再依据几何性质或函数原理构建方程或不等式模型，最终通过数值代入或图像验证结论的合理性。该路径强调逻辑严谨性与问题解决导向，是连接几何直观与代数运算的关键桥梁，有助于发展学生的结构化思维与数学建模能力。

二、新课标对“几何直观”与“代数推理”的融合要求

新课标明确要求在初中数学教学中强化“几何直观”与“代数推理”的融合，强调通过图形表征理解抽象数量关系，借助代数工具刻画几何特征。例如，在函数学习中需利用图像分析变量变化趋势，同时用解析式表达函数性质；在几何证明中鼓励学生从图形运动中发现不变量并转化为代数表达式。这种融合旨在培养学生数形转换能力，提升其空间想象、逻辑推理与建模意识，符合核心素养导向下的课程改革方向，是实现从知识掌握向能力生成转变的关键路径。

三、初中几何图形动态变化的代数推理模型构建策略

（一）知识

在初中数学教学中，代数内容的系统性建构是培养学生逻辑思维与运算能力的关键环节。从数的扩展到式的运算，再到方程与不等式的深入学习，知识之间层层递进，环环相扣，构成了学生数学素养发展的核心路径。例如，以北师大版初中数学《代数》内容为依托，通过数轴直观演示从有理数扩展到实数的必要性，强化数感与运算一致性；接着引导学生运用乘法公式与提公因式法进行因式分解，理解整式乘除与因式分解的互逆关系；在方程教学中，采用“问题情境—建模—消元”三步法教授二元一次方程组，结合实际问题提升建模能力；

分式方程则强调去分母前的验根意识，培养严谨逻辑；不等式部分通过数轴表示解集，强化符号语言与图形表达的统一，实现知识结构化与思维进阶。

（二）能力

几何学习是初中数学素养发展的重要载体，其核心在于培养学生的空间观念、推理能力和直观想象。从平行线到三角形性质，再到图形运动规律的探索，知识体系由浅入深、由具象到抽象，为学生构建严谨的几何思维提供了坚实基础。在北师大版初中《几何》教学中，教师应依据北师大版教材内容设计结构化教学过程。平行线学习中，通过观察、测量与推理，引导学生发现同位角、内错角等性质，建立“位置关系—角度关系”的逻辑链条；三角形部分以勾股定理探究为核心，借助网格图或动态演示，帮助学生从特殊到一般归纳结论，并在全等三角形证明中训练演绎推理能力；图形运动则采用操作—观察—抽象三步法，让学生在平移与旋转的实践中理解图形不变量与变换规律，逐步形成空间观念与几何直观，为后续综合几何学习奠定基础。

（三）素养三维

解析几何是连接代数与几何的重要桥梁，其核心在于通过函数关系刻画图形特征，发展学生的数形结合意识。一次函数的学习不仅深化了学生对变量关系的理解，更为后续函数建模与空间观念的提升奠定基础，是数学素养三维目标实现的关键环节。例如，在北师大版初中数学《解析几何》教学中，以一次函数为核心内容，教师应设计“情境引入—概念建构—关系探究—应用深化”的教学过程。通过实际问题建立变量之间的线性关系，引导学生理解函数表达式 y=kx+b 中 k 与 b 的几何意义，即斜率与截距；借助描点法绘制图像，观察 k 值变化对直线倾斜程度的影响，强化数形对应意识；再通过多组数据验证函数值与自变量的确定性关系，培养符号意识与运算能力；最后结合实际问题求解最值或交点坐标，如解方程组 +4} 得交点（1，3），实现从代数到几何的双向转化，全面提升数学建模与逻辑推理素养。