基于“认知脚手架”理论的中小学函数概念衔接教学策略设计与课堂实践

引言：

函数概念是数学中十分重要的核心概念，但是由于中小学函数概念衔接处的缺失，导致学生不能很好地掌握函数概念，这直接影响到学生的数学学习质量。本研究以“认知脚手架理论”为基础，分析中小学校园函数概念的链接教育缺位情况，并提出学习对策。

一、创设多元情境，促进概念建构

巧妙利用生活情境引导学生发现规律，通过在变化中探寻不变关系，突出概念本质特征。例如，六年级下册数学课《正比例》这一教学内容。可以巧妙地借助生活情境创设，引导学生在“变”中探寻“不变”的规律，又通过多个不同的情境设置，再次提炼出概念的本质特征。同时，运用表格、图片情境展示以及公式推导等多种形式，不断变换教学方式，在教师精心设计的“阶梯式问题链”的引导下，学生的思维越来越活跃，不仅大胆表达自己的想法，还用了举例、假设等更多的表征方式及时输出自己对概念的理解，课堂上，教师还可以引入自制小程序，化“静”为“动”拓宽了课堂的深度和广度，助力学生深入理解概念的内涵与外延，充分凸显函数的特征，为学生在中学阶段的后续学习做好了坚实铺垫。课堂上师生互动和交流精彩纷呈，获得现场听课老师们的肯定和点赞。

二、设计阶梯问题链，推动思维深化

哥廷根学派创始人菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》一书中提到，数学教师的职责是“使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”。他认为“每一个有关的分支，原则上应看作是数学整体的代表”。基础数学教师应该站在更高的视角下审视和理解初等数学问题，这样才能使问题显得明了而简单。学生应当掌握数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程。

以一系列连续性的问题引导学生深入思考，鼓励学生表达自己的观点、提出问题，以增加课堂参与度。支持学生通过举例、假设等途径来表达自己的认识，以促进知识的迁移和运用。问题设计遵循“观察—推论—抽象”的学习递进阶梯：先用“生活中有哪些情况可以体现‘变化中的稳定性’”的生活情境问题激活学生的先前经验，使思考建立在具体的实际情境基础上；再用“如果改变一个条件，结果会怎样”的假设性问题推动思维进入更高的逻辑层次；最后用“你能用一个数学术语或符号来概括这个稳定的规律吗”的抽象问题促使学生将零散的感性认识升华为系统、完整的理性认识。在这一问题不断深入的过程中，学生首先通过实例理解母亲购物时价钱和金额的变化，继而思考如果速度保持不变，距离如何随时间变化，最后探讨如何用数学形式表示周长与边长比例恒定的关系。这样的学习过程让学生不断参与讨论、互相提问：“我认为这个例子并不合适，因为它没有保持相同的数量。”这样，教室就成为一个不断发展的、“思考—表达—质疑—完善”组成的学习过程，有助于学生知识的迁移和实际应用。

三、注重学段衔接，强调整合与系统化

在学校主要是通过最基本的数量关系表达出一些函数的概念。例如，正方形周长的计算公式为周长 Σ=Σ 边长 ×4 ，边长和周长之间是具体的数量关系。通过这样的具体关系，学生对变量之间的关系进行直接理解，这是培养学生数理能力、测量能力和初等函数思想的目的所在。事实上，小学阶段所涉及到的一些简单关系是初中函数概念的具体呈现形式。在小学感知的基础上，初中对此函数给出了抽象化的定义，在高中课程中，又是从初中函数认识的基础上，用函数观点分析一元二次方程、一元二次不等式，并从对应的观点阐述函数概念、探究几种基本函数及其应用。函数是一门重要知识点，它是构建数学知识体系的关键元素，而函数增减性作为一个重要的内容不仅对解决众多函数问题有所裨益，也可对很多非函数问题进行解答（证明不等式、解方程的根等）。函数的增减性学习贯穿整个小学、初中、高中的基础教育阶段。

例如，在讲述“正方形的周长随着边长的增加而增加”的知识内容中，教师一般会要求学生计算出边长不同的正方形的周长（如边长为1cm 的正方形周长为 4cm、边长为 2cm 的正方形周长为 8cm 等等），然后在表格中体现随着边长大，其相应的周长也就大这一概念。此时，学生对“单调性”的理解是直观具体的，其对数字大小的变化感受便建立在函数单调性的根基上，属于后续学习发展的基础结构。当我们学习完小学阶段的数学知识之后开始认识一次函数），此时我们开始教师通常以我们已经学习过的“正方形周长”作为知识点，引导学生观察当 k>0 时，x 增加了，其对应的 y 也会同步增加；而当 k<0 时，x 增加了，其对应的 y 却减少了。此时，其思维从纯粹的“具体数字”到“变量之间”的发展，将单调性以公式及表格形式（直线的角度为指向）为表达方式确定下来，建立了一种“符号化的”单调性的概念。举例而言，讲授 ) 这一式时，教师会先引导学生比较小学时“长方形的周长是四乘以边长”这一关系，且这两种关系都属于“ k>0 的一元一次函数”，是“自变量越大因变量线性增长”，是将初中的抽象概念与小学中的直观感知做了关联。要实现小学与初中之间的衔接与贯通，就需要教师构建“阶梯式学习任务链”：在小学阶段设置“直接测量”的任务（“给出各种边长的正方形的周长，说明你的发现”），中学生阶段设置“符号表达”的任务（“用 5=kx+b 表示正方形周长与边长之间的关系，讨论 k 对于增加或减少的作用”），大学生阶段设置“严格定义”的任务（“用代数语言证明 y=x2 在区间 (0,+∞) 上是单调递增的”）。这样把小学生的“直觉感受”、中学生的“符号形式”和大学者的“严格刻画”组合起来形成一个连续的知识网。

再例如，在“函数单调性”的跨学段衔接课堂实践中，首先让学生回忆：从小学的“正方形周长表”得知“边长越大，则其周长越大”，接着出示初中的图像，引导学生用“(k>0)，函数递增” 解释表格中的规律；然后提出问题：“如果是 )，边长越大，面积一定越大吗？”（用小学的 “ 正方形面积 Σ=Σ 边长 × 边长 ” 引发认知冲突），学生通过计算（面积 1）、（面积 1）、（面积 4），发现 “ 边长增大时，面积不一定一直增大”，从而意识到初中的“ 一次函数单调性”不能直接迁移到二次函数，需要更严谨的定义；最后，教师引导学生用高中的“ 任意，都有 ” 证明在上递增，完成从“ 感性” 到“ 理性” 的认知进阶。这种“ 从具体到抽象、从直观到严谨”的衔接设计，符合“认知脚手架”理论的核心思想小学的具体实例是初中概念的“脚手架”，初中的符号表达是高中严谨定义的“脚手架”。通过整合各学段的教学内容，学生不仅能理解函数单调性的本质，更能形成“用发展的眼光看问题”的数学思维，为后续学习更复杂的函数（如指数函数、对数函数）奠定坚实基础。