一类整系数多项式根问题的探究

1 引言

整系数多项式的根是代数学中一个基本且重要的问题[1][2]，其重要性不仅源于系数与根的算术约束关系，如 Gauss 创立的整数环理论，整系数多项式的根在密码学和计算科学等诸多领域都有广泛的应用价值[3]。研究多项式的根有助于理解多项式本身，如其可约性[4]。多项式的有理根与其可约性之间联系紧密[5]，对于次数不高于三次的多项式，存在有理根等价于可约，但对于高于三次的多项式，虽无有理根未必意味着其在有理数域上不可约，但存在有理根，就可分解出一个一次因式导致可约性[6]，本文主要探讨整系数多项式有理根的问题。

3 小结

本文聚焦整系数多项式有理根的问题，相比高斯引理，引理2 在讨论整系数多项式有理根的应用更为广泛，由此得到了一些关于整系数多项式根的结论。

参考文献：

[1] 罗永超， 畅敏， 张洪. 关于整系数多项式的不可约性与有理根存在性的新判别法[J]. 西南师范大学学报（自然科学版）， 2013， 38（4）： 1-4.

[2] 王月明. 关于整系数多项式不可约性的思考[J]. 南京工程学院学报（自然科学版）， 2018， 16（02）： 79-82.l. Graph Theory[M]. Springer， 2017.

[3] Shparlinski， I. E. Algebraic Methods in Cryptography[M]. Simon Fraser University， 2003.

[4] 蔡改香， 舒阿秀. 一类整系数多项式在有理数域上的可约性问题[J]. 滁州学院学报， 2025， 27（02）： 29-33+80 .

[5] 罗永超， 畅敏， 张洪. 关于整系数多项式的不可约性与有理根存在性的新判别法[J]. 西南师范大学学报（自然科学版）， 2013， 38（04）： 1-4.

[6] Prasolov， V. V. Polynomials[M]. Springer， 2004.

安徽省高校自然科学重点研究项目“非线性多种群生存竞争反应扩散系统的奇摄动研究”（KJ2021A1150）；安徽省高等学校自然科学重点研究项目“子群的算术性质与有限群结构的研究”（2024AH051298）；学院博士科学研究启动项目“几类奇异摄动非线性模型解的渐近性态研究”（BYKQ202403）；安徽省高等学校省级质量工程项目“《线性代数》线上线下混合式课程”（2021xsxxkc189）；学院质量工程项目“《线性代数》优秀教学团队”（2021XJXM006）.

吴海心： （1998-）， 女， 安徽阜阳， 助教， 硕士， 研究方向： 复杂网络.

冯依虎： （1982-）， 男， 安徽潜山， 教授， 博士， 研究方向： 应用数学和计算数学， 奇摄动理论与应用.