基于BOPPPS 模式的概率论与数理统计教学实践

一、 引言

概率论与数理统计作为一门研究随机现象统计规律性的数学学科，广泛应用于众多领域，对培养学生的数据分析以及科学决策能力起着至关重要的作用。然而，课程中包含诸多复杂概念和抽象理论，这使得学生在理解和掌握上存在一定困难。BOPPPS 教学模式作为一种以学生为中心的教学模式 [1]，通过明确的教学目标和多样的参与方式，能够有效提升学生的学习兴趣和学习效果。本文将以贝叶斯公式为例，探讨如何在概率论与数理统计课程中应用 BOPPPS 模式进行教学实践。

二、BOPPPS 教学模式概述

BOPPPS 教学模式由六个环节组成：引入（B）、目标（O）、前测（P）、参与式学习（P）、后测（P）和总结（S）[2]。其核心是着力为学生打造一个利于自主探究的学习氛围，高度重视互动交流以及学生的参与度，能够整体提升课堂教学成效。下面将以贝叶斯公式为例展开叙述。

三、以贝叶斯公式为例的教学实践

3.1 引入（B）

巧妙且贴合实际的引入环节至关重要，它能够迅速抓住学生的注意力，激发学生们的学习兴趣。本次课程采用情境引入，先通过多媒体给学生们展示一段短视频。视频展示了一位年轻人来医院进行一项针对罕见疾病的检测。医生告知他，这项检测对于疾病的发现有着重要意义，但也并非百分百准确，存在一定的误判率。很快，检测结果出来了，显示为阳性。年轻人顿时面露担忧之色，急切询问自己患病的可能性究竟有多大。播放结束后，即可面向全体学生提问：“同学们，假如你们是医生，面对这样的情况，如何推算出这位患者真正患病的概率呢？” 问题一出，学生们开始热烈讨论，顺势让学生尝试运用之前学过的知识去分析计算，引导学生主动思考，为贝叶斯公式的引出做铺垫。如此一来，通过创设贴近生活的真实情境，成功引发学生的认知冲突，激发他们的求知欲，为后续正式进入贝叶斯公式的学习营造了良好氛围。

3.2 目标（O）

明确的学习目标能够帮助学生更有针对性地学习，根据学习内容，本节课的学习目标设定如下：

（1）知识与技能目标：深刻理解贝叶斯公式的基本概念，清晰掌握公式中各项参数的含义。例如在疾病诊断案例中，能准确识别发病率、误诊率、漏诊率等参数在贝叶斯公式中的位置。（2）过程与方法目标：引导学生将实际问题转化为数学模型，运用贝叶斯公式进行求解，提升学生解决实际问题的能力。（3）情感态度与价值观目标：通过探讨贝叶斯公式在多领域的应用实例，激发学生对概率统计的学习兴趣，体会数学与生活的紧密联系。

3.3 前测（P）

前测环节的目的是通过小测验或讨论等方式评估学生对相关前置知识的掌握情况，为后续教学提供依据。在正式讲解贝叶斯公式前，可以进行如下前测以了解学生知识储备情况。

（1）口头提问：“同学们，刚才情境中的已知检查结果为阳性，求实际患病的概率是否为条件概率问题？如果是，该如何计算？”。假设实际患病为事件，检查结果是阳性为事件，通过条件概率可知已知检查结果为阳性，实际患病的概率 ，那么又如何计算呢？

（2）将情境中的问题转化为例题用 PPT 展示：已知某种罕见疾病在人群中的发病率为 0.5% 。有一种检测方法，对患病的人检测呈阳性的概率为 95% ，对未患病的人检测呈阳性的概率为 5% 。问一个人检测结果呈阳性的概率是多少？这道题考查学生对全概率公式的应用能力。通过运算得到检测结果呈阳性的概率，同时，在此基础上进一步引导：如果有一个人检测结果为阳性，那么他真的患病的概率是多少？通过条件概率和全概率公式可推出：检查结果为阳性的前提下，实际患病的概率，再顺势给出贝叶斯公式，并指出贝叶斯公式在很多领域都有着广泛应用，例如医疗诊断、垃圾邮件过滤、人工智能中的图像识别等等。掌握了它，我们就能更深入地理解和处理这类复杂的概率问题。”

3.4 参与式学习（P）

参与式学习强调学生的主动参与，通过小组讨论、案例分析等方式，增强学生之间的互动。在教授贝叶斯公式时，可以设计相关的实际问题，让学生在小组中讨论解决方案，并进行分享。

（1）小组案例讨论

将学生分成若干个小组，并通过展示案例：“有两家工厂生产同一种产品，甲厂生产产品的次品率为，乙厂生产产品的次品率为。已知市场上该产品中甲厂的产品占，乙厂的产品占。从市场上随机抽取一件产品，恰好是次品，求这件次品是甲厂生产的概率？”

各小组围绕案例展开讨论，并尝试运用贝叶斯公式来解决问题。教师在各小组间巡视，观察讨论情况，适时给予提示和引导，鼓励小组成员积极交流想法，分享思路。

（2）小组汇报与互动

每个小组推选一名代表，上台向全班汇报本小组的解题思路和答案。其他小组认真倾听，可随时提出疑问和不同见解，结合各小组的讨论和汇报，教师进行总结归纳。通过实际案例分析，让学生理解贝叶斯公式是处理“逆向概率（即已知结果，反推原因的概率）[3]”问题的工具，从而提高学生运用公式解决实际问题的能力。

3.5 后测（P）

后测环节用于评估学生在学习后的掌握情况。可以设计不同难度的题目，帮助学生巩固所学知识，并及时反馈他们的学习效果。

借助超星学习通平台，发布多样化、多层次的练习题，涵盖选择题、填空题和简答题[4]，全面考查学生对贝叶斯公式的掌握情况。

学生在学习通上直接作答提交，系统自动批改选择题和填空题，并随机抽取 2-3 名学生，让他们在黑板上书写简答题的解题思路和答案。其他同学进行补充或质疑。教师根据学生的回答情况，进一步点评讲解，强化重点知识，纠正错误理解，如此便可了解学生对贝叶斯公式的掌握程度。

3.6 总结（S）

总结可以帮助学生整合所学知识，理清思路。本节课采用思维导图的方式进行总结。以“贝叶斯公式”为中心，延伸出“前置知识”分支，包含条件概率、全概率公式；“公式推导”分支，呈现从条件概率和全概率公式推导出贝叶斯公式的关键步骤；“实际应用”分支，列举疾病检测、产品质量分析等案例。边展示边简要讲解，帮助学生构建完整的知识体系，强化知识点之间的联系。

四、结语

将 BOPPPS 教学模式应用于概率论与数理统计的教学实践，取得了良好的教学效果。学生在整个过程中积极参与，不仅掌握了贝叶斯公式的知识与技能，还提升了实际应用能力，激发了对概率统计的学习热情。未来的教学中，可以继续探索 BOPPPS 模式在其他数学课程中的应用，为培养高素质的专业人才贡献力量。

参考文献

[1] 孙月芳 ， 郭照庄 ， 毕晓华 ， 等 . 基于 BOPPPS 教学模式的概率论与数理统计课程教学探索与实践 [J]. 北华航天工业学院学报 ，2023，33（04）：30-32.

[2] 王永娟 ， 姜喜春 ， 范英兵 . 基于 BOPPPS 模型的大数据专业概率论与数理统计课程教学实践 [J]. 电子技术 ，2023，52（12）：220-221.

[3] 赵春香 .“三全育人”背景下概率统计课程的教学案例——以“贝叶斯公式”为例 [J]. 科技风 ，2024，（30）：26-29.

[4] 吕宁 . 基于超星学习通 BOPPPS 模型的概率论与数理统计教学改革实践[J]. 科技视界 ，2021，（14）：49-53.

作者信息：陈梦如，女（1994.12-），汉族，硕士，助教，研究方向：概率统计 籍贯（安徽省亳州市）