多目标加权圆集packing 问题方法研究

引言：

多目标加权圆集packing 问题在工业排样、物流装载等领域具有重要应用价值。该问题的核心任务是将一组尺寸各异且具有不同重要度权重的圆形物体，无重叠地放入特定形状的容器中，并同时追求多个可能冲突的目标，如最大化空间利用率、最大化放置圆形的总权重以及最小化容器尺寸[1]。传统方法在平衡多目标与复杂几何约束方面面临挑战。本文旨在探索更有效的求解算法。

一、问题描述与建模

(一)多目标加权圆集Packing 问题定义

多目标加权圆集 packing 问题涉及在有限容器内安排一组圆形物体的布局优化，问题输入包含一个圆形物体集合和一个具有固定边界的容器区域[2]。每个圆形物体具有一个已知的半径尺寸和一个代表其布局优先级或重要性的正权重值，容器通常设定为矩形或圆形。问题的优化目标具有多重性，首要目标通常是最大化成功放入容器内圆形物体的权重总和，该目标反映了对高优先级圆形布局需求的满足程度；第二个关键目标是最大化容器内部空间的实际利用效率，即已放置圆形总面积与容器总面积的比值；第三个常见目标是最小化容纳所有已放置圆形物体所需容器的最小尺寸，例如矩形容器的宽度或圆形容器的半径。

(二)数学模型构建

为精确描述多目标加权圆集packing 问题，需要建立严谨的数学模型。模型的核心决策变量是每个圆形物体i 的圆心坐标 。模型必须包含两个关键约束条件以确保布局的几何可行性。第一个约束要求任意两个不同圆形物体i 和j 之间的欧几里得距离不小于它们半径之和，该约束严格保证了所有圆形物体之间的互不重叠性。第二个约束要求每个圆形物体的圆心位置加上其半径后，其整体必须完全位于预先定义的容器边界范围内，该约束的具体数学形式取决于容器的实际形状。第三个约束要求每个圆形物体的权距总和尽可能小。目标函数需要整合多个优化目标。一种常用的方法是将多个目标组合成一个标量化的综合目标函数，通常采用线性加权和形式。

二、核心算法设计

(一)启发式算法框架

设计一个高效的启发式算法框架是求解复杂packing 问题的起点，该框架采用分阶段构造策略。第一阶段依据圆形物体的关键属性进行降序排序处理。排序依据通常结合圆形的半径大小和权重值，例如计算半径与权重的乘积并按该值排序，该策略倾向于优先处理尺寸较大或重要性更高的圆形物体。第二阶段根据排序结果，采用特定的规则将圆形逐个放置到容器内。常用的放置规则包括寻找当前布局轮廓上的最低可用点进行放置，或者沿着容器内壁或已放置圆形的边界进行紧凑排放。第三阶段实施局部调整优化。该过程通过微调已放置圆形的位置来消除局部重叠冲突、改善布局紧凑度或尝试容纳更多圆形物体，常用操作包括对圆形进行微小平移。

(二)自适应梯度法

为提升启发式框架的解质量并克服其易陷入局部最优的局限，引入自适应梯度法。梯度法又被成为最速下降法，可以让预期的某个参数朝着预期的方向行进。传统多目标加权圆集packing 问题求解只解决了代布局圆之间的干涉重叠，没有考虑权重值。由于本文是求解多目标布局问题，不仅要考虑干涉问题，还要考虑待布局物体的权重总和尽可能小[3]。所以在自适应梯度算法中，引入权距参数，使得待布局圆形的总加权距离和值朝着缩小的方向移动。类似于每个待布局圆形物体之间存在和权重相关的吸引值，数值越大，吸引力越大。为进一步跳出局部最优，可随机选择其中某个待布局圆形物体随机移动位置，重复执行上述梯度法。保存每次结果，迭代N 次后选出最优布局方案。

总结：

本文研究了多目标加权圆集packing 问题的求解方法。算法设计的核心是提出了一种启发式算法框架与自适应梯度法优化框架。该框架利用启发式规则快速构建可行解，并通过改进的自适应梯度法进行深度优化。有效结合了两类算法的优势，为高效求解复杂多目标圆形排样问题提供了新思路。

参考文献

[1]蔡家尧,王磊.二维矩形 Strip Packing 问题的算法研究与改进[J].计算机技术与发展,2024,34(07):138-146.

[2]梁利东,何东,朱良恒.不等圆 Packing 问题的多策略优化方法[J].机械科学与技术,2022,41(09):1394-1402.

[3]李泽宇.基于WangLandau 采样求解加权圆集布局问题的拟物方法研究[D].湘潭大学,2017.