基于神经网络深度学习的偏微分方程求解策略

摘要：人工智能技术发展速度不断加快的过程中，神经网络深度学习凭借强大的数据驱动性，为偏微分方程求解提供有效助力。神经网络深度学习和偏微分方程结合，能够很好地适应复杂化的初始条件，有效降低计算的复杂度，但在具体应用求解时还面临一定的挑战。因此，需要积极探索切实有效的基于神经网络深度学习的偏微分方程求解策略，用以提升求解的效率与质量。据此，本文将围绕直接法、算子学习法、数据驱动法、多尺度方法等方面，提出基于神经网络深度学习的偏微分方程求解策略。

关键词：神经网络；深度学习；偏微分方程

引言

偏微分方程在流体力学、电磁学等众多领域获得广泛应用，其求解的精准性会直接给科研深度及工程可行性带来影响。然而，在求解复杂性较高的偏微分方程时，采用有限元法、有限差分法等传统数值方法很难高效求解。神经网络深度学习凭借强大的特征提取能力，突破传统偏微分方程求解的局限性，开辟新的求解路径，更好地解决复杂的问题。但从如今的实施情况来看，还存在模型准确性不高、计算资源消耗过大等挑战，使其在对解释要求较高领域中被限制应用。因此，后续还应在此方面加强研究与实践，不断突破面临的挑战，提升求解策略的有效性。

一、直接法

直接法是将偏微分方程解视作一个函数，具体应用过程中应注重科学选择神经网络结构。对于简单的问题通常优先选用多层感知机，其包含多个神经元层，能够很好地处理输入变量间的关系。对于对称性问题更适合选择卷积神经网络，通过滑动卷积操作可自动提取数据特征，提升模型泛化能力[1]。例如，卷积神经网络在二维泊松方程求解过程中，可很好地捕捉解的空间特性，有效处理规则几何形状的问题。对于热传导问题应用直接法，可通过训练神经网络对不同位置与时刻的温度值进行精准预测。此外，扩散方程等问题应用直接法也可起到显著作用，通过学习边界条件获得精准的数值解。

二、算子学习法

算子学习法是利用神经网络学习算子来求解偏微分方程，为确保算子学习得以实现，需将算子通过神经网络架构来表示。图神经网络在此方面具有显著优势，在图中传递消息及更新特征，可捕捉偏微分方程的信息，由此掌握各位置中算子发挥的作用。例如，在复杂几何流体力学问题处理过程中，图神经网络可依据几何边界的物理特性学习算子的作用，从而对流体流动过程进行精准模拟。复杂的物理系统求解过程中，算子学习法的应用成效相对明显。流体力学领域，尤其是涉及复杂几何形状等情况，很难利用传统数值方法进行求解，而算子学习法凭借强大的表示能力，能够大幅提升求解效率。电磁学中应用算子学习法，可以学习电磁场的传播从而对各介质的传播现象进行模拟。材料科学中应用算子学习法，可促进理解材料的微观物理机制，在理论层面为材料设计提供有效支持。

三、数据驱动法

数据驱动法主要依赖数值模拟数据或实验数据，认为这些数据当中蕴含着偏微分方程的解，神经网络通过对数据模式进行学习从而预测未知解。数据驱动法中，无论是无监督学习或是监督学习都可发挥显著作用。无监督学习法中的生成对抗网络主要包含生成器与判别器，能够对数据进行建模，并对生成数据真实性进行判断。生成器利用对抗训练可学习数据分布，生成与偏微分方程解相匹配的数据。例如，生成对抗网络在复杂分布的偏微分方程求解时，可通过生成样本数据明确解的分布特征。监督学习法是让神经网络学习输入和输出的关系，将偏微分方程的初始条件、空间位置作为输入，输出则为对应的解。同时，数据驱动法能够广泛应用于众多领域。气象学当中，通过学习气象观测数据，利用神经网络对温度、湿度等气象要素情况进行预测，用以保障天气预报的精准性。医学成像领域，通过分析医学图像数据，利用数据驱动法求解偏微分方程，如肿瘤热疗中应用热传导方程学习温度分布，为治疗方案的改进提供有效参考。工程领域中，利用数据驱动法能够很好地解决复杂结构问题，通过快速预测不同载荷条件下结构的响应，用以保障工程设计有效性。

四、多尺度方法

偏微分方程在不同尺度的特征及行为存在差异性，应用多尺度方法可将这些差异充分考虑在内，用以提升求解的效率及质量。众多偏微分方程问题，都具有多尺度现象，小尺寸上存在复杂的结构，大尺度上体现宏观的平均趋势，多尺度方法利用多尺度神经网络捕捉信息，将解的结构精准描述出来。例如，针对湍流问题，多尺度方法可以分别学习不同尺度的运动，保障湍流描述更加全面与精准。小波神经网络是常见的多尺度方法，其是以小波函数为基函数，利用神经网络对小波基函数参数进行调整，从多尺度逼近偏微分方程解。同时，可通过分层神经网络结构处理各层次的信息[2]。例如，小尺度细节信息可在底层网络处理，大尺度特征则在逐步向上层次中整合而出。此种分层结构能够有效提取细粒度信息的宏观特性，很好地利用神经网络的表示能力，从而保障多尺度问题实现较好的处理。在具有多尺度特征的偏微分方程求解时，多尺度方法可发挥显著的应用优势。湍流研究中，多尺度方法的应用可捕捉湍流中涡旋及粘性耗散现象，为改进湍流模型提供有效参考。此外，多尺度方法在多孔介质渗流问题解决方面，可将微观流动与渗流规律共同考虑在内，从而对多孔介质中流体的传输过程进行精准预测。地球物理科学中热传导等问题研究过程中，应用多尺度方法能够对不同尺度的物理过程进行分析，从而依据此构建地球物理模型，也为精准预测地质灾害提供有效参考。

结语

综上所述，偏微分方程求解本就是具有挑战性的，面对复杂的问题沿用传统的解决方法显然是不合理的。神经网络深度学习可赋予复杂偏微分方程解决更多可能性，突破传统解决方法的局限性。通过直接法、数据驱动法、多尺度方法等搭配应用，能够提升偏微分方程求解的效率。虽然当前在精准性、计算资源等各方面存在一定的挑战，但在研究日渐深入的过程中，该领域可实现不断突破，在技术层面为科学研究、工程设计等提供有效支持，为相关学科的融合发展奠定坚实基础。

参考文献

[1]陈煜谦.基于深度学习的偏微分方程求解[D].浙江大学，2024.

[2]李健枫.基于物理信息与卷积网络的偏微分方程求解模型研究[D].中国科学技术大学，2023.