认数一致性中的“因”和“果”

摘要：继《义务教育数学课程标准（2022年版）》（亦称“新课标”）颁布之际，国内的数学教育工作者开始了对新标准的探索和应用。其中“整体性”、“一致性”和“阶段性”是新课标指出的核心素养具有的特点，“整体”、“一致”、“阶段”这三个关键词作为热点名词在我们的课时备课、单元备课之中被反复研究和推敲，力求在我们不同阶段的课堂中让核心素养有不同的体现。而对于小学低年级的学生在认数中怎样落实核心素养的培养？怎样从课堂的数学活动中感悟从数量到数的抽象过程？本文中笔者试着基于学生的旧知出发，体会“从果到因”的逆向反敲过程，阐述在认数的课堂活动中让学生体会逐步抽象的过程，并构建认数过程中计数单位的一致性。

关键词：数学新课标；从果到因；抽象能力；一致性

2022版新课标指出：数是对数量的抽象。在小学各个学段，要着重关注学生的基本能力，它是通过持续且系统地积累数学知识而逐步建立起来的，学生在不同年级的成长过程会展现出各自的特点。因此，教师应深入了解学生对数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”）的把握程度，并推动以及运用数学知识与方法的发现、提出、分析和解决问题（简称“四能”），只有这样，教师才能针对学生具体的需求设计更合适的教学环节和互动活动。

一、从教材编排意图出发，确定真实有效的课题

譬如，当我在授课苏教版的小学二年级下学期第四单元《认识万以内的数》的第一个课程《数数和千以内数的组成》时，碰到了首个挑战。我在填写课程具体名称时，发现在老师的教案和备课手册里，该课程题目记载为《数数和千以内数的组成》，然而在教科书的说明里，却是记作《千以内数的认识》。经过研究，我注意到不少从事过这个单元教学的老师均曾使用这两种不同的课题名。回到教材本身，本课安排了2个例题和想想做做6道题，例1主要教学千以内数的组成，而例2主要教学数的顺序和计数单位“千”。本课是“数的认识”中的生长课，在学生一年级下学期认识了百以内数的基础上进行教学，正是对应了例1的教学内容，而例2的教学内容对应的则是从数数的角度迁移到计数单位“千”，最终我确定下来的课题名称是《数数和千以内数的组成》。

二、“从因到果”的抉择，确定课堂基调

核心素养的主要表现及其内涵中对于数感指出：能够在真实有效情景中理解数的意义；能让学生初步体悟与表示事物含有的简单的数量规律；初步感受数学表达的简洁和精确。通过关联内容的解读，内容之间是由浅入深，并呈现螺旋中上升、一层一层递进的趋势，最后构建出相对系统的知识结构。

《数数和千以内数的组成》是在学生已经认识了百以内数的基础上教学的生长课，自然有旧知依，有旧法可迁移。学生已经有了用小棒、方块、计数器表征百以内数的经验，能够清楚的理解几个十和几个一合起来是几十几，学生在生活中也有了大于100的数的生活经验，甚至能知其形却不知其意。基于此，课堂伊始我先和学生一起阅读“张衡数星星”的故事，让学生一字一字地读并结合文字的呈现和阅读时间的感受初步感悟生活中大于100的数，然后让学生有意识的例举生活中大于100的数，借助生活经验引入新知千以内数的组成。在例1环节教学中，我一则考虑到“从因到果”还是“从果到因”，“从因到果”则可以按照书上环节分4个层次进行，但放弃了学生的本身基础进行，相当于从0开始，二则我准备从学生找出的三百二十八进行，让学生尝试表征，在不同的表征过程中构建千以内数组成的具体框架，即“从果到因”。最终我秉承不放弃学生的起点，让学生从旧知进行迁移，从而选择“从果到因”的教学基调，让学生明确生活中大于100的数随处可见。这是我提问学生“我们就用这个现成的例子来研究，想表示出‘三百二十八’，根据以前认数的经验，你打算用什么数学工具来表示？”让学生感受从生活经验我们了解到的是大于100的这样数的结果，而我们现在则要去研究其成因，所谓知其形而究其意。让学生体会从“未知走向已知”，从“旧知迁移新知”的知识递进过程。

三、多元表征凸显本质，体会从数量到数的抽象

新课程标准阐明，在中国的义务教育阶段，数学素养核心中的数学眼光主要涵盖了：抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。而抽象能力是指能在实际情境或者跨领域、学科问题中识别并提炼核心变量、变量间的模式与相互作用，并有能力通过数学符号进行表达和沟通。

对于《数数和千以内数的组成》一课，我基于前期“从果到因”的课堂基调，想要体现从生活实际的数量抽象到数的过程我设想了三个层次进行教学。

【教学片段】

环节一：从生活经验出发，明确研究方式

谈话：我们一起阅读了张衡数星星的故事，老师告诉大家，这里一共有——328个汉字。（课件出示328个汉字）

提问：你会读吗？在生活中你见过比100大的数吗？

明确：生活中这样大于100的数随处可见，我们就可以用这个现成的例子“三百二十八”来研究它们在数学上的相同点。

【思考】本环节让学生体会生活中大于100的数随处可见，正是基于学生的旧知引领，让学生通过阅读、数数、观察和举例，初步感悟大于100的数，突破认数限于100的边界。由此，从学生已经对于认、读几百几十几有了初步了解的基础上明确数学的一种研究方法是从特例指向普遍性的研究。

环节二：多元表征，体验从数量到数的半抽象过程

提问：你能用这些数学工具来表示“三百二十八”吗？

活动要求：

1.选一选：任选一种工具表示三百二十八；

2.想一想：你想先摆什么，再摆什么，各表示什么；

3.说一说：和同桌说一说你的感受？

生1：我排小棒，开始摆出三捆代表三个一百即三百，继而放置两捆以象征二个十，即二十，接着摆放八根来表示八个一，因此合起来为三百二十八。

生2：我摆方块儿（学名：第纳斯方块），摆了3板，2竖排和8个，合起来是三百二十八。

明确：它们用了不同的物体来摆三百二十八，他们都摆出了3个百是三百，2个十是二十和8个一是八，合起来是三百二十八。

生3：我操作计数器，将百位珠子拨了三颗，十位珠子拨了两颗，个位珠子拨了八颗，总数为三百二十八。

追问：他的方法和之前两种又有什么相同？你更喜欢哪种呢？为什么？

生：都表示出了3个百，2个十和8个一，合起来是三百二十八。

明确：我们的计数器可以用相同的算珠在不同的数位上表示不同的数，并且从计数器上一眼就能看出各数位上的数，因为能够看到它们的数位。 在百位位置上的三颗珠子代表了三个百，即300；十位位置上的两颗珠子代表了两个十，即20；个位位置的八颗珠子代表了八个一，即8；三者合起来是328。 所以用计数器表达更加方便。

【思考】本环节中需要完成千以内数认识的第二次抽象，先让学生用小棒、方块、计数器对三百二十八进行多元表征，初看三种元素的表征是并列的，并且学生是同时操作完成的。然而分析三种表征方式的特性，小棒和方块属于实物表征，更为具体形象，更加贴合二年级学生的年龄和认知特点；计数器表征实则是对实物的半抽象，是从数量抽象到数的中间过程，学生能从相同算珠在不同位值表示不同的数的体验更为抽象化，计数器上已经明确的抽象出了数位，更好的体现位值的思想，计数器表征的方法思维层次要求更高。

环节三：从特例走向普遍，明确计数单位的一致性

追问：通过摆一摆和拨一拨，现在你对于这个数的组成有什么新的想法了？再举个数的例子并跟你同桌说一说。

学生交流后体会几百几十几的计数单位构成。

明确：几百几十几和刚才研究的三百二十八一样，都是数出了几个百就表示几百、几个十就表示几十和几个一就表示几，合起来就是几百几十几，几百几十几只要去数各计数单位的个数。

【思考】采用十进制体系对自然数进行计量是其核心所在，利用此法能以更合理的构造和表示数，其根本在于数位上的计数单位个数。 学生从研究三百二十八的组成积累了一定的位值经验，其实是不够的，我们最后需要回归到两点，一是认识数的一致性，即计数单位；二是从特例走向普遍的过程中势必需要更多的研究素材作支撑。

四、从生活需求出发，感悟“千”位产生的必要性

数学课堂的起点来源于生活，学生生活的需求才是数学学习的支撑。本课的第二块新知构成是“数的顺序和计数单位‘千’”，即从数数的角度明确数的顺序和构建计数单位“千”。在教材中主要安排了两个层次的教学：1.在我的引导之下，学生们操作计数器同时计数，首先按照每次一十一十数的方式，从三百五十数起，一直数达四百六十。紧接着，他们一个一个累加，从九百八十九开始直至九百九十九。接着，我激发学生们自主提出“如果给九百九十九增加1会怎样”的探究，自然而然地将“千”这个新的计数单位引入教学中；2.再使用计数器来诠释如何将九百九十九增加1，并通过连续的进位操作演示如何形成一千，向学生阐明“九百九十九加1变成了一千”，同时强调“最右侧第四个数位表示千位”。这是基于我对教学内容的深刻理解以及学生对理解“千位”概念的需求而有意识地进行的教学策略调整，我将重点放在帮助学生理解“千”位的产生原因及其形成过程。

【教学片段】

环节一：由扶到放，回忆十进制法的构成

交流：老师计数器上先拨出了七百四十，一十一十数，学生一边数、老师一边拨，数到八百六十。

谈话：一十一十数，从八百六十怎么拨到九百八十？同桌两人合作，一人拨、一人数。

明确：十位满十需要向百位进一。

环节二：自主操作，构建数与数之间的练习

谈话：换种方式。一个一个地数，你会吗？从九百八十数到九百九十九。学生独立操作。

追问：他们在数的过程中也发生了什么？有什么需要注意的？

明确：无论一个一个数还是十个十个数，只要满十了，就要向左边一位进一。

环节三：从实际需求提炼，感悟“千”的产生需求

谈话：看来你们真是数数高手。一个一个数，九百九十九还能继续数吗？会发生什么呢？为什么？跟你的同桌轻声交流一下。

追问：若再加上一个1，个位数满十则进一，十位数同样满十后也要进一，百位数亦是如此满十便进一。

百位要进的这个“一”去哪里了？这时候怎么办？

明确：百位也要满十进一，但是左边没有数位了，我们还要创造一个新的数位，我们把它叫做千位，看来满十进一，对于我们认数和数数真的很重要。更多的数位也就被我们这样数出来了。

小结：数源自于数。

【反思】若以百以内数的认识为基础进行扩展，学生便可正确地数出两个整百数之间的所有数字，挑战主要在于帮助学生准确地识别那些接近整十、整百、一千时的数字。为了克服这些接近整十、整百、一千时的计数难点，不仅需要在教学中刻意各计数单位之间的表象联系和十进制结构的清晰梳理，还应当借助计数器的动手操作示范，让学生清楚地掌握“任何一位满十，就会转化为更高一级的计数单位”的规律。

《数数和千以内数的组成》作为百以内数认识的生长课，更是后续《千以内数的读写》的过渡课，我尽量在教学过程中为学生提供与真实世界紧密联系的学习素材，从生活中数的实例来研究，更是在练习中归回到生活中数的组成，让学生体会到数学知识学习的螺旋上升、层层递进。

核心素养的培养随学生成长的阶段呈现出不一样的特点，以小学为例，着重于对知识经验的感悟和理解。具体到小学二年级学生，他们通常已掌握了生活中的基本计数能力，并能读写一千以内的数。从一年级开始教学“百以内数的认识”，同时引入小棒和计数器，延续至二年级教学“千以内数的认识”以及“万以内数的认识”，使学生从实际生活的数量到数的认知的感悟中，通过更多的实践与体会，积极积累这方面的经验。这样的步骤有助于增强他们对抽象概念的理解，逐步引领他们理解计数器的位值和计数单位，最终把握数的抽象属性。我们更加需要依托于数学课堂中学生的多次活动，在一次次的经验感悟中才能培养学生的核心素养，让其真正落地于课堂。