基于弧长公式的板凳龙盘旋策略

摘要：“板凳龙”是我国的传统文化活动，为了提高观赏性，在进行盘入盘出时需要尽量提高盘龙的行进速度且尽可能的减小盘龙过程中所需要的面积。本文通过逆向推到的方法，借助于弧长公式建立板凳龙的位置模型。进而计算整个螺旋线的长度；然后根据龙头行进速度确定某时刻龙头沿螺旋线运动的弧长计算出位置坐标和速度，借此给出板凳龙盘旋策略。

关键词： 弧长公式；板凳龙；盘进盘出；螺旋线

1 引言

“板凳龙”是我国南方的一种传统文化活动，整个龙身由百余条板凳通过把手链接构成。盘龙在行进时速度越快所需面积越具有观赏性。本文研究的的板凳龙整体共有221节，第1节为龙头、第2-222节为龙身、最后一节为龙尾，具体板凳参数题目已经给出。每两个板凳由把手穿过板凳上的孔连接。龙头从第16圈A点处出发，沿螺距为55cm的等距螺线顺时针盘进，龙头把保持1m/s的前行速度。通过分析个板凳间的几何关系计算从300s内每一时刻每节龙的速度和位置。为了更好的解决此问题，做出如下假设（1）选择的等距螺线为阿基米德螺旋线；（2）在盘龙盘入螺线的初始阶段，把龙身近似看作弧线；（3）每节龙身进入螺线的时间忽略不计；（4）等候进入螺旋线的龙身在一条直线上且直线垂直于x轴。龙头从第16圈A点处出发后沿着等距沿螺以1m/s前进，龙头的运行轨迹极为螺线盘进轨迹，每一时刻龙头把手所在位置的阿基米德螺线盘过的角度可以通过弧长积分获得，进而获取龙头把手的时时位置与时时速度。然后再根据几何关系计算出每节龙身每一时刻的运动位置和速度。本文通过逆向推到的方法，借助于弧长公式阿基米德螺旋新[1-3]建立板凳龙的位置模型。进而计算整个螺旋线的长度；然后根据龙头行进速度确定某时刻龙头沿螺旋线运动的弧长计算出位置坐标和速度[4-5]，借此给出板凳龙盘旋策略。

2 模型的建立与求解

通过求解的位置结果可以看到，在300秒后龙头盘入7周，此时龙头还可以继续盘入不会发生碰撞。第51节龙身在第86秒才进入螺线线轨迹，之前一直在后面排队按照垂直于x轴的直线以1m/s的速度盘入。第151节龙身在300秒时将要盘形一周。在300秒时，第176节之后的龙身还未进入螺线轨迹。

通过求解结果可以看到，在300秒后龙头盘入7周，此时龙头还可以继续盘入不会发生碰撞。第51节龙身在第86秒才进入螺线线轨迹，之前一直在后面排队按照垂直于x轴的直线以1m/s的速度盘入。第151节龙身在300秒时将要盘形一周。在300秒时，第176节之后的龙身还未进入螺线轨迹。

3结论与推广

本文采用基于弧长公式的几何模型可以设计更为有效、美观的盘龙形态，可以使空间利用最大化，提高了其观赏性；利用了图形照片等，生动直观，便于理解和演示。等距螺线的应用，使得描述盘龙路径时更易计算；还用到了物理动力学原理，更便于模拟板凳龙的运动过程，利于观察和求解；可运用到后续的传统文化活动的组织当中，有利于提高活动举办的效率和安全性。但是，模型高度依赖数据分析，板凳龙问题多为动态问题，更多偏于实际生活，这需要模型求解过程中不断的进行改动；许多盘绕过程复杂的动态变化模型可能无法准确描述，建立数学模型求解会将问题简化，可能与实际龙盘绕路径有所不同。板凳龙数学模型问题与其他领域、学科的实际问题相联系，今后可以探讨板凳龙问题在不同领域的应用。

参考文献

[1]阿基米德螺线[J].新世纪智能，2024，（45）：49.

[2]刘崇军.等距螺旋的原理与计算[J].数学的实践与认识，2018，48（11）：165-174.

[3]邵一恒.基于数学软件的阿基米德螺线切线计算与分析[J].新课程（中），2018，（01）：118.

[4]张爱华.基于参数方程的曲线拟合控制[J].电气自动化，2000，22（02）：25-26.

[5]陈基伟.螺旋面的拟合应用研究[J].岩土工程技术，2009，23（02）：87-89+94.

作者简介：曹涵菲（2005.07，女，河南兰考），蒋曦乐（2006.06，女，河南商丘） ，张甜甜（2007.08，女，河南安阳）均为2023级电气工程及其自动化（文魁试点班）专业在读本科。

通讯作者：苗鹏（1988.10），男，河南郑州，硕士研究生，副教授，研究方向：神经网络优化及非线性系统稳定等.

基金项目：河南省教育厅高等学校重点科研项目（项目编号：25B110021）.