高中数学教材例题处理的教学实践

摘要：核心素养是品质，能力，价值观的集中体现，是新时代背景下对学生所提出的基本要求，以核心素养为基调是新课程改革的必然趋势[ ]。在高中数学教学迈向核心素养培育的关键进程中，如何巧妙处理教材例题成为提升教学成效的关键。本文以必修一“三角函数”章节里水桶车匀速圆周运动这一典型例题模型为切入点，深度剖析教学实践策略。借助巧妙设计问题链，紧密衔接过往所学，以渐进方式降低数学建模的难度；引入真实情境，引导学生从生活现象中抽象出三角函数概念；运用动画演示强化模型认知，借提问讨论激发探索热情，拓展模型应用范畴；设置针对性变式训练，有效检验教学成果。上述策略精准对接数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，为高中数学三角函数教学提供了极具实操性的范例。

关键词：“核心素养”、“例题策略”、“实践案例”

一、思维论述

解决关于基于高中数学核心素养的三角函数章节例题处理策略的问题。首先，高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这六个方面[ ]。在课程教学过程中，需要注重教材当中逻辑方面的总结，即知识点概念介绍，数学定理的验证等，加强对高中学生数学逻辑思维方面的培养[ ]。

接下来需要思考的是，教材中的例题如何与这些核心素养结合，处理策略应该怎样设计。想要在教学中更好地融入核心素养，首先需要关注具体的策略，具体包括如何分析例题中的素养要素；如何设计问题链（问题链是数学知识结构的表现形式，问题链方法是以问题为主线，以发现问题-解决问题-再发现问题为全过程，以适应客观世界运动变化和数学严谨逻辑思维之需要为目的的数学思维方法。[ ]）；如何引导学生主动探究等等。

紧接着需要思考每个核心素养对应的处理方式。比如数学抽象，可能需要从具体实例中抽象出数学模型；逻辑推理的话，例题中可能有隐含的推理过程，需要引导学生自己发现；数学建模可能涉及将实际问题转化为数学问题，例题如果本身是应用题，就可以利用这一点；直观想象，可以利用几何画板动态展示，增强效果；数学运算方面，强调例题中的运算步骤，巩固算理算法，而不是只追求结果正确；数据分析，可以通过信息技术的引入，来帮助分类统计。

最后，如何评估学生在例题学习中的核心素养发展情况，所以策略中可能需要包含评价方法，比如过理性评价，或者设计开放性问题。

二、实践展示

“匀速圆周运动”是物理与数学两学科间的跨学科融合内容，期间的模型建立过程可以利用学科间共同或类似的思维方式进行过渡，以提升学生的思维能力和创新能力；模型建立过程中可以利用不同学科的概念、符号进行相互解释和验证，可以加深学生对模型的理解深度；模型应用过程中，相似的问题情境以及共通的解决方法可以提高学生解决实际应用问题的能力；所以选取该处课例作为实践操作案例更能体现出新课标对核心素养的要求。

以下是以高中数学必修一“三角函数”章节（5.6水桶车匀速圆周运动 例题模型）的教材例题处理为例的教学实践操作案例：

首先，“情景导入”，创设一个匀速圆周运动的物理情景，自然而然地引导同学将绕圆心圆周运动的物体抽象为一个质点，引起学生的情景回忆，激起生的学习兴趣，为接下来的模型建构做好铺垫。在此处可以通过教师展示细线拴系重物做圆周运动的动作展示，号召大家进行观察，并抛出问题，“是否观察出圆周运动周而复始的规律、该运动过程中物体的高度是否一直保持不变、如果变化的话，其高度随着什么量的变化而变化、这种变化是否呈现函数的特性、利用哪种学过的函数可以描述这种规律”。进而引发同学们分组讨论，将这种“先学后教”的例题处理模式作为学生主动学习钥匙。

其次，根据前面同学的回答，作为回顾旧知的引子，从而引出更多问题链，让学生从本章前面学习过的知识点中收集更多的模型素材，为后面模型的搭建做准备，并进行例题展示，把“水轮车模型” 推出来，让学生自行将水桶的初始位置与P点的初始相位角 对应；水桶的圆心高度与单位圆圆心位置 对应；水轮车的旋转快慢与P点旋转角速度 对应，且要让学生意识到该处 决定了旋转运动的周期大小；水轮车半径与P点所在圆半径 对应；从而最终建立模型。

最后，该数学模型的学习是为了迁移到其他问题情境中实践应用，且链接下一模块的内容，为思维能力的下一次跃迁做铺垫。所以我们可以设计类似的“摩天轮座舱问题”、“匀速骑脚踏车问题”等，让同学们进行模型重构；再有设计改变参数数值求某一时刻的高度位置；或者给出某些时刻的位置坐标让学生去求函数关系式；还可以根据给出函数图像的某些点位和距离信息，让学生找出该问题模型中的旋转半径、旋转周期、角速度、初始相位角、以及圆心高度等参数信息。

这样通过难度递增、逐渐渗透、梯次布置、全方位多角度的题型变形，让学生对模型中的各种参数生成一个立体的模型关联，得出每个部分与整体的关系，从而让模型有血有肉地在学生的头脑中活起来，以应对各种刁钻、独特的创新性问题。

三、具体例题处理策略

1.通过设置问题链，联系回顾旧知，层层递进，降低建模门槛；

2.通过真实情境引入三角函数概念，引导学生从具体现象中抽象；

3.通过动画演示，增强模型印象；通过提问讨论，来引发探索动机扩展模型外延；

4.通过设置变式训练来举一反三，评价例题处理效果；

5.具体操作示例

（1）回顾旧知，联系前面“任意角的三角函数”中的单位圆模型，复现点位纵坐标与正弦三角函数值的关联。

（2）设置问题链 的函数值是P点的纵坐标还是纵坐标；如果角 终边绕原点做逆时针匀速圆周运动，使 每秒钟旋转1rad那么P点的纵坐标y与时间t的函数关系怎样；如果在此基础上P点的初始位置由 变为 ，函数关系会怎样；如果在此基础上角速度增大到原来2倍关系又怎样；如果在此基础上把单位圆的半径扩大到2怎样；如果在此基础上把圆的圆心提高一个单位呢？

（3）联系生活实际，把水轮车的问题描述给同学，由学生自行定位 、 、 、 、 和 与实际情景的对应关系，从而建立数学模型。

（4）展开几何画板进行动画演示。

（5）设置小组讨论环节，你还能举出生活中别的问题情景同样适用于该模型吗？并给出具体函数式子。

（6）根据小组讨论提出的变式，画出各自小组函数图像，并结合计算机软件进行验证。

（7）理论推导并证明各个参数改变时函数图像变化的规律。

四、核心素养回归

1.问题链策略对应操作示例的1和2，基于“数学抽象”、“数学运算”、和“逻辑推理”的核心素养；

2.问题情景引入策略对应操作示例的3和5，基于“数学建模”、“数学抽象”的核心素养；

3.动画演示的策略对应操作示例的4和6，基于“直观想象”的核心素养；

4.设置变式的策略对应操作示例的6和7，基于“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养。