教学课题：正弦定理（第一课时）

教学内容：正弦定理

教材分析：《正弦定理》是人教A版必修二第六章第四节平面向量的应用的内容，是必修一第五章《三角函数》中有关三角形知识的继续与发展，进一步揭示三角形的边角关系，也是本章前几节平面向量相关知识在三角形中的应用。在以往的教材中“正余弦定理及其应用举例”是单独作为一章“解三角形”出现，但人教A版新教材中，将这两个定理融入平面向量的应用中，进一步突出向量在解决几何问题中的应用价值。正弦定理是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。正弦定理蕴含着丰富的数学思想和方法，如由特殊到一般的归纳思想、转化思想、数形结合思想等。通过本节课的学习，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

学情分析：学生在初中已讨论过三角形中的边角关系，在必修一中学习了任意角的三角函数，本章前几节学习了平面向量的基础知识及其在平面几何、物理中的应用，上一课时运用向量法对余弦定理进行了探究，这都为本节学习正弦定理奠定良好的知识与方法基础。教材中着重用向量法证明正弦定理思维量较大，向量数量积运算中出现的是两向量夹角的余弦，正弦定理中涉及的是角的正弦，需要通过作新的向量构造角之间的互余关系，利用诱导公式将边与角的余弦关系转化为正弦关系。这一过程对于学生的思维挑战巨大，学生难以自主生成需要教师详细地引导学生一步步证明。

教学目标：

1.从学生已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，使学生认识正弦定理；

2.由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、验证、推导出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；

3.运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，发展逻辑推理和数学运算的核心素养。

教学重点：正弦定理的发现与证明

教学难点：正弦定理的简单应用

教学方法：为实现以上教学目标，突出重点、突破难点，采用问题驱动法、探究启发式教学。在教师启发引导下学生通过小组合作交流，以“正弦定理的发现及证明”为基本探究内容，经历“发现问题—提出猜想—验证猜想—证明定理—应用定理”这一过程，让学生了解正弦定理的来龙去脉，加深对定理的认识与理解，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

教学过程：

一、创设情境 呈现目标

问题1、上节课我们用向量法研究三角形的边角关系，得到了余弦定理及其推论，它的具体内容是什么？它可以解决哪些类型的问题？直接可以解决（SAS，SSS）这两类解三角形问题.

问题2、如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

在初中，我们已知道三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的边角定性关系.我们能否更深刻地从量化的角度研究三角形中的边、角关系？如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“ 在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题。进而解决任意两角一边、两边一角的问题。

设计意图：问题的提出既让学生回顾学习过的知识，又发现已有知识不能解决现在的问题，在温故知新中激发学生学习新知的兴趣。

二、特例探究 提出猜想

我们从熟悉的直角三角形边、角关系入手，根据锐角三角函数正弦定义有Rt△ABC有：

①sinA ②

问题3、Rt△ABC中边角关系的结论显然在一般三角形中不成立。观察有没有间接关系成立？

追问1：等式可否推广到一般三角形？

在直角三角形中c是斜边等式成立；在等边三角形中部分成立。

追问2：如何改写使其具有一般性？

关注等式结构特征可把等式改写为的形式.各边和它所对角的正弦的比相等。

这就是我们要研究的正弦定理。（板书课题）

设计意图：通过特殊到一般的思维过渡符合学生的认知发展规律，让学生经历猜想与反驳的过程，发现问题、提出问题、探索结论、猜想归纳。自己获得正弦定理的一般形式，让学生感受到数学的和谐美和统一美，培养学生的探究创新能力。

三、验证猜想 获得定理

问题4、 如何验证对任意三角形都成立？

在GGB中构造任意三角形，观察边长与对角正弦值的比值恒定。

设计意图：通过技术赋能的数学实验，直观呈现比值的恒定性，打破“特殊”到“一般”的认知壁垒。

问题5、GGB验证了无数个三角形的比值恒定性，如何将实验转化为严格证明？

在直角△ABC中∠C是直角，sinCsin90°1，等式易证。

下边只需证明锐角三角形和钝角三角形中成立即可。

追问：观察关系式，涉及“长度”“角度”联系学过的知识中哪一类计算来研究？

向量是沟通几何与代数的桥梁，基于向量大小和方向的特征，隐含了线段的长度和直线的夹角，数量积运算中有“边”和“夹角”。

问题6、你能在一般△ABC中借助向量尝试给出的证明么？（学生思考）

追问1：向量的数量积中出现的是角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？

（诱导公式，即可实现角的余弦和正弦的转化.）

追问2：由诱导公式可看出需要两个互余的角，那么在一般三角形中应如何构造出互余的两角呢？

需要作一个新的向量构造角之间的互余关系，在锐角△ABC中过点A作与垂直的单位向量，可得到与A互余的角，向量与的夹角为，与的夹角为－C。

向量法解决几何问题的步骤：

（1）把问题中涉及的几何元素用向量表示；

（2）进行恰当的运算；

（3）把向量结果转化成几何关系。

追问3： △ABC中蕴含哪些向量关系， 如何进行数量化？

三角形三边对应的“边向量”组成的闭合回路

由向量的数量积运算，可以在两边同时点乘单位向量，利用数量积定义展开。

问题7、由上述证明过程你能证明在钝角三角形△ABC成立么？

图2：不妨设A为钝角过点A作与垂直的单位向量，同理可得。

设计意图：本节探究目标是以三角形边角（长度、角度）之间的等量关系为主线，由平面向量的定义“大小”就是“长度”，方向实质就是“角度”，引导学生联想到向量数量积的运算，将“向量”转化成“数量”，借助构造垂直向量的方法，将几何问题转化为向量运算问题。以问题驱动让学生亲身经历从特殊到一般、从几何直观到代数运算的完整探究过程，深化对向量工具性的理解，培养数学建模与逻辑推理的核心素养。

问题8、还有其它证法么？

几何法：通过作高利用锐角三角函数证明、利用三角形面积证明、借助外接圆证明

设计意图：通过开放性问题引导学生多角度探索正弦定理的证明，在对比几何构造、面积法等传统证法的基础上，聚焦向量数量积的工具性特征，体悟向量法在简化运算、统一边角关系中的独特优势。

四、定理生成 剖析认知

问题9、通过严格的证明我们得到：在任意三角形中，都有成立。

这一结论称之为正弦定理。你能尝试用文字语言描述正弦定理吗？

在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

追问1. 正弦定理的表达式有怎样的结构特征？具有对称性

追问2.这个式子能否拆分成几个式子？每个式子含有几个量？

三个等式，，每个等式都含有四个量。

追问3.你还能得到正弦定理的哪些变形？

连比式：a：b：c=sinA：sinB：sinC

分体式：设，则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，k=2R

追问4. 正弦定理主要解决哪些解三角形问题？ 已知两角和任一边、已知两边及一边对角。

设计意图：用文字语言来描述正弦定理，有利于学生理解正弦定理边角关系的本质.

从结构上：具有对称性、统一性，体现了数学的对称和谐美。

从方程上：每个等式含有四个量，知三求一（方程思想）。

从正弦定理可以看出三角函数把几何关系关于三角形的定性结论变成了可计算的公式。

五、迁移运用 形成素养

设计意图：例1是已知三角形两角及一角对边的解三角形问题，学生可以直接利用正弦定理求解；变式1已知三角形两角及另一边的解三角形问题，学生需先根据内角和定理求出第三个角，再利用正弦定理解决问题。例1和变式1体现了正弦定理能够解决已知三角形两角和任一边的解三角形问题，有利于巩固学生对正弦定理的认识和理解。

六、反思提升 意义呈现

请同学们表述一下学习本节课的收获和感受？

从哪些方式证明了正弦定理？体现了哪些数学思想方法？

设计意图：课堂小结回顾知识再现过程梳理思路，包括定理的发现与探索过程、定理的证明应用等，让学生掌握定理学习的本质，同时感受到数学中转化、类比、数形结合等思想方法的重要性，培养学生的数学思维和问题解决能力。

七、布置作业 巩固提升

1.课后习题：48页 1-4题

2.开放性作业：《向量法解锁现实世界中的三角形之谜》

《余弦定理、正弦定理的协作与竞争》 个人或小组合作 建议时长 一周

设计意图：设计一道覆盖不同应用领域、难度适中、具有实际背景的向量法解决三角形问题的题目，培养学生用向量法解决几何问题的意识和能力，引导学生思考向量在解决几何问题中的优势，比如直观性、简化步骤等，从而突出向量的应用价值。