基于实际问题的应用数学课程案例教学研究

摘要：案例教学作为一种有效的教学方法，通过精准选取与数学知识高度契合的现实案例，能够提升学生的数学建模能力和问题解决能力。本文围绕案例教学的关键策略展开研究，包括精准选取案例、分层次引导教学、结合探究式学习和融合信息技术等方面。通过具体案例分析，探讨如何在数学课堂中有效实施案例教学，以提升学生的学习兴趣和实践能力。研究表明，合理的案例教学不仅可以帮助学生理解数学概念，还能培养其创新思维和跨学科应用能力，为数学教育的改革与发展提供有力支持。

关键词：实际问题；应用数学；课程案例教学

在现代教育体系中，应用数学课程不仅是理论知识的传授，更是解决实际问题的重要工具。传统的教学模式往往侧重于数学概念和公式的推导，忽视了数学在现实场景中的应用，导致学生难以将所学知识与实际问题相结合。因此，基于案例教学的研究成为提升数学应用能力的重要途径。案例教学法通过精选真实的工程、经济、物理、生物等领域的应用问题，引导学生分析问题、构建数学模型并求解，使数学知识的学习更加直观和生动[1]。本文将探讨如何在应用数学课程中有效实施案例教学，以促进数学教育的改革与发展。

一、精准选取案例，增强问题导向性

在选择案例时，需要综合考虑多个因素。首先，案例应具有现实关联性，来源于工程、经济、交通等实际领域，使学生能够清晰地看到数学知识在现实中的应用。其次，案例需要与课程内容紧密结合，确保所学理论能够被有效应用，而不仅仅停留在概念层面。最后，案例的难度需要合理设置，既要有一定挑战性，又不能过于复杂，使学生能够通过思考和探索找到解决方案。精准选择案例能够使数学教学更具实践价值，让学生真正理解数学在解决实际问题中的重要作用。

以“城市交通优化问题”为例，在讲授图论或运筹学相关内容时，可以引入现实中的交通流量优化问题。教师可以设置一个具体的城市路网，给定不同道路的通行能力、交通信号控制方式以及高峰时段的流量数据，引导学生建立数学模型，以求解最优交通分配方案。首先，可以使用图论中的最短路径算法分析不同出行方式下的最优路径选择问题，帮助学生理解最短路径求解在导航系统中的应用。其次，可以结合线性规划或网络流优化方法，研究如何合理分配交通流量，减少城市交通拥堵。例如，学生可以通过数学建模分析如何调整红绿灯的时间配置，优化公交专用道的设置，或者设计新的限行策略，以实现更高效的交通流动。通过计算机模拟和数据分析，学生能够直观地观察不同方案对整体交通状况的影响，进而理解数学在城市管理和智能交通系统中的重要作用。

二、分层次引导教学，提升学生思维能力

在案例教学中，需要采用分层次的引导方式，帮助学生逐步建立数学思维，并提升其问题解决能力。首先，基础层面应确保学生理解数学概念的本质，并掌握基本计算和推理能力。这一阶段可以通过直观示例和启发式问题，引导学生建立数学直觉。其次，在深入阶段，教师可以通过复杂案例让学生思考数学方法如何应用于不同情境，并鼓励他们自主探究更高效的解法。最后，在拓展阶段，可以引导学生从不同角度分析问题，运用交叉学科的知识进行综合建模，从而培养其创造性思维和多角度思考能力。

以“投资组合优化”为例，在讲授概率统计或线性代数相关内容时，可以引导学生分层次理解和应用数学方法。首先，在基础层面，教师可以介绍基本的投资组合概念，如风险、收益率以及资产分配原则，让学生掌握方差、协方差等统计概念[2]。接着，在深入层面，可以引导学生利用均值-方差模型建立数学表达式，计算最优资产组合的权重，帮助他们理解如何利用数学方法平衡投资风险和收益。最后，在拓展层面，学生可以进一步分析不同市场条件下的投资策略，并结合实际数据进行回测，探索更复杂的金融模型，如CAPM或黑-舒尔斯期权定价模型。这种分层次的教学方式使学生能够在不同阶段获得相应的数学能力，从基本概念的理解到高阶数学工具的运用，从而提升其分析和解决问题的综合能力。

三、结合探究式学习，激发学生自主思考

数学不仅仅是一门计算工具，更是一种思维训练，能够帮助学生建立科学的推理能力和创新意识。因此，在案例教学中，结合探究式学习可以有效激发学生的主动性和创造力。探究式学习强调问题驱动，引导学生自主思考、发现规律，并通过实验和建模验证自己的假设。这种教学方法不仅提升了学生的自主学习能力，还能够培养他们的批判性思维，使其在面对复杂问题时能够主动寻找解决方案，而不是单纯依赖既有知识进行套用。

以“城市供水优化”为例，在讲授最优化方法或运筹学相关内容时，可以设置一个城市供水系统的优化问题，引导学生以探究式学习方式进行分析。首先，教师可以提出一个核心问题：如何在满足居民用水需求的情况下，优化供水管道的布局和水压调控，以降低成本并减少水资源浪费？学生可以首先通过数据分析了解供水需求的时空分布，并建立供水管道的数学模型。接着，他们可以利用图论中的最小生成树算法，求解最优管道布局，并结合线性规划方法优化水压调控策略。最后，学生可以进行计算机模拟，测试不同方案的效果，并提出改进建议。整个过程中，教师仅提供必要的指导，让学生自主分析、建模和优化方案。

四、融合信息技术，提升课堂互动性

随着信息技术的发展，数学教学已经不再局限于传统的黑板讲授和纸笔计算，而是可以借助计算机软件、可视化工具和仿真模拟，使课堂更加直观和生动。然而，在许多传统课堂上，信息技术的应用仍然较为有限，教师主要依赖于手工推导和公式计算，而学生则缺乏实际操作和实验机会，导致数学学习较为抽象，难以深入理解[3]。因此，在案例教学中，融合信息技术不仅能够增强课堂的互动性，还能够帮助学生更直观地理解数学模型的实际意义。

以“无人机路径规划”为例，在讲授微积分或最优化问题时，可以结合信息技术，引导学生使用计算机进行求解和仿真。教师可以首先介绍无人机的基本运动模型，并引导学生分析无人机在复杂环境中飞行的最优路径问题。接着，学生可以利用Python或MATLAB编写代码，求解路径优化问题，例如使用A算法、遗传算法或粒子群优化算法，计算无人机从起点到目标点的最短飞行路径。通过可视化仿真，学生可以观察不同算法在实际环境中的效果，并分析计算效率和路径规划的合理性。相比于传统的手工计算方式，信息技术的融入使学生能够更快地理解数学优化方法的应用价值，同时培养其编程能力和数据分析能力。

结束语：案例教学作为应用数学课程的一种重要教学方法，能够有效弥补传统教学模式的不足，使数学知识更加生动和实践化。通过精准选取现实案例、分层次引导教学、探究式学习和信息技术的融合，学生能够在真实情境中理解数学的应用价值，并提升解决实际问题的能力。未来，随着数学教育的不断改革，案例教学将在培养学生的数学思维和实践能力方面发挥更加重要的作用，为社会各领域输送具备数学素养和创新能力的人才。

参考文献

[1]程意苏. 高校应用数学教学改革与学生应用数学意识的培养分析 [J]. 科技风， 2024， （22）： 107-109.

[2]王师，杨静，汤月丽，等. 基于“课训赛”的“应用数学”课程教学模式改革与实践 [J]. 广东职业技术教育与研究， 2022， （04）： 121-124.

[3]陈菁菁，金美含，罗钦. 以专业应用为导向的研究生数学教学探索与实践——以交通运输专业研究生“应用数学”课程为例 [J]. 教育教学论坛， 2022， （25）： 132-135.