基于SINBAD快谱基准题的离散纵标深穿透屏蔽计算研究

Abstract：In fast reactors， the neutron flux can attenuate by up to ten orders of magnitude from the reactor core to the ex-core detector area， posing significant challenges to current shielding analysis models and computational methods. The traditional discrete ordinates method is significantly affected by discretization errors， making it difficult to balance computational accuracy and efficiency. In this paper， we have implemented the goal-oriented multi-collision source algorithm for the discrete ordinates method. The Winfrith Iron fast spectrum benchmark experiment from the international shielding benchmark database SINBAD was used for modeling and transport calculations. The results demonstrate that our algorithm can effectively control angular discretization errors while achieving high computational efficiency in addressing deep penetration neutron shielding problems.

Key words：shielding calculation; deep penetration; fast spectrum benchmarks; discrete ordinates method

1 引言

快中子反应堆（以下简称快堆）具有较高固有安全性、良好的燃料增殖嬗变潜力，是第四代核反应堆的代表堆型之一。大型快堆的中子通量密度从堆芯到堆外探测器区域的衰减可超过10 个量级，属于典型的深穿透粒子输运问题。堆外探测器的深穿透高精度屏蔽计算，已成为我国大型快堆设计中的关键技术难题[1]。

离散纵标（SN）法是国际上解决深穿透屏蔽问题公认的较好方法[2]，它直接将连续的角度变量离散，但不可避免地会引入离散误差。特别是对于深穿透屏蔽问题，空间强非均匀性和角度强各向异性将导致角通量密度变得不光滑，使得离散误差严重影响屏蔽计算精度。离散纵标目标导向碰撞源算法（GO-MCS）基于首次碰撞源方法，通过引入目标导向空间分解和求积组动态降阶技术，以精确高效求解粒子输运深穿透屏蔽问题。本文针对快堆屏蔽问题中重要的不锈钢屏蔽材料，开展GO-MCS 方法对于快谱深穿透问题的适应研究与验证计算工作。

2 目标导向碰撞源方法

2.1 多次碰撞源算法

单群稳态中子输运方程如下：

改写为算符形式的输运方程的内迭代方程如下：

Lψ^（n）=Sψ^（n-1）+QΓ（2）

式中， ψ^（n） 为至多经历了 n 次碰撞的角通量密度，Q 是源项，L 和S 为输运算子和散射算子。多次碰撞源方法在计算一次碰撞通量密度时，将整个空间区域划分为两个区域（标记为 A 和 B），此时散射源（ Sψ^（n-1） ）可定义为两个区域的散射源（ Q_AQ_B ）之和，即 Sψ^（n-1）=Q_A+Q_B 。将空间域 A 和 B 内的角通量密度定义为 L^-1Q 和 L^-1Q ，分别采用高阶和低阶求积组进行输运扫描求解， Ω_n 次迭代后的角通量密度MCS 为

ψ_MCS^（n）=L^-1Q_A+L^-1Q_B⨀

2.2 目标导向空间分解

中子价值函数用共轭输运方程的解来表示：

式中， ψ^* 是共轭角通量密度， Q^* 是共轭源项。共轭角通量密度的值越大，表明相空间内该位置该方向的中子被探测到的概率越大。这里的空间分解策略只考虑空间变量，因此以共轭标量通量密度来表示中子价值 ϕ^* 。中子价值函数表明了不同空间位置对于探测器响应的相对贡献，但没有考虑正向输运计算的贡献。基于贡献理论[3]将中子贡献函数定义为正向与共轭标通量密度的乘积，则空间域D 内的归一化贡献因子C 定义为

贡献函数以正向输运计算的解为中子重要性函数的权重系数，兼顾正向解和共轭解的贡献，比中子价值函数更适合作为空间分解方案的判据。在多次碰撞源计算中，贡献因子通过两个独立的输运扫描过程作用于空间域：高阶求积组输运扫描（ ）和低阶求积组输运扫描（ B D A ），其中 ΔC 是用户定义的空间分解方案的判据。

2.3 求积组降阶技术

求积组降阶技术基于散射过程使角通量密度趋于光滑的假设，在多次碰撞源计算后的迭代过程中自适应地降低求积组的阶。此过程主要考虑求积组相对误差 E_q 和迭代相对误差 E_i ，总相对误差（ ΔE_tot ）定义为两者乘积。为预估求积组变化引入的误差，在完成一次迭代后通过比较当前迭代求得的标通量密度 ϕ^（i），N 和低阶求积组计算获得的标通量密度 ϕ^{（i），N′} ，可得求积组相对误差。由于源迭代具有单调收敛性，通过预估谱半径（ σ： ）可得迭代引入的误差：

3 Winfrith Iron 基准实验

3.1 基准题简介及几何建模

Winfrith Iron 基准实验 在英国 ASPIS 屏蔽装置上进行，该实验装置与功率为 30 kW 的 NESTOR 反应堆相

连，通过石墨慢化中子驱动天然铀转换靶，提供实验的快谱中子源。该基准实验测量了约 1 m 厚铁屏蔽体中不同深度的中子能谱和反应率，具有典型的深穿透特征。铁屏蔽层厚度较大，粒子的穿透距离较长，导致中子通量密度随着穿透距离增加呈指数衰减。

3.2 源强生成

转换靶中子源由10 个装在铝支撑板的燃料元件组成，共计364 个天然铀组件以近似圆形的方式排布。转换靶内的中心组件装载了46 个燃料板，外侧组件依次装载了40、32 和18 个燃料板，形成了圆盘状燃料排布。反应堆的泄漏中子经过石墨介质被慢化为热中子，与转换靶中的燃料发生裂变反应。

基准报告中的分析模型对转换靶结构进行了适当简化，通过材料拉伸去除了空隙，并给出了修正后的原子核密度。转换靶中子源的源强在轴向和周向上均匀分布，沿半径方向可近似为一个半径为142.9cm 的余弦分布，能量分布采用Watt 裂变谱近似。基准报告给出的源强分布为连续余弦函数，需要根据计算模型进行网格离散化。在源区建模的定义过程中，将裂变率分布改写为直角几何下的分段函数，通过数值积分生成每个网格的源强数值。

3.3 结果分析

Winfrith Iron 基准题的实验装置结构复杂，为适应计算需求，实验建模过程中对几何结构进行了简化，计算模型如图1 所示，模型网格均匀剖分为 46×130×23 ，空间离散格式选择DTW 差分格式，迭代收敛准则为10-3，使用199 群KASHIL-E70 截面库[5]，各向异性散射展开至P5 阶。共轭源区设置在孔道出口附近。

图 1 Winfrith Iron Benchmark 模型

Fig.1 Model of Winfrith Iron Benchmark

传统 SN计算采用 S32阶 PNTN求积组，GO-MCS 计算的碰撞源部分，采用 S8和 S32阶 PNTN求积组计算未碰撞通量密度和前两次碰撞通量密度；求积组降阶部分，采用包括4 个PNTN求积组 ）在内的求积序列。图2 展示了距离源区22.86cm、57.17cm 探测器位置处的中子能谱计算结果。两种方案的计算结果与基准值基本保持了一致的趋势，其中22.86cm 和57.15cm 深度处的计算结果与实验值基本一致。

两种方案计算过程所需的总迭代次数基本相同。对于该深穿透问题，GO-MCS 计算的精度与S32阶求积组一致，并且相较于传统SN计算加速比达到了6.12 左右。对于此类对于角度变量离散并不敏感的深穿透问题，中子的散射作用会使得整个模型空间内标通量密 得平滑，统一使用高阶求积组会造成计算资源的浪费。GO-MCS方法能够合理地安排求积组调用顺序使计算精度与效率达到良好平衡。

Fig. 2. Calculated spectrum for the Winfrith Iron benchmark

图 2 Winfrith Iron 基准题的计算能谱

ⁿS（n，p）^nq 和 ¹¹⁵In（n，r '） ^115*In 探测器位置处的反应率计算结果与实验值基本一致，相对误差在±20%以内，但在距离源区大于28cm 的点偏差明显增大。参考日本原子能研究所使用DOT 程序和法国CEA 使用TRIPOLI 程序的计算结果，上述计算均出现了超过 20%的偏差，分析这些偏差可能是模型的几何简化和多群截面处理导致的。此外，两种计算方法的计算结果基本一致也表明输运求解的离散误差并不是引起计算误差的主要原因。通过比对计算，验证了GO-MCS 方法对于深穿透屏蔽问题具有可接受精度。

4 结论

本文基于贡献理论开展了目标导向碰撞源算法研究，并耦合了求积组降阶技术以实现角度求积组随迭代的自适应变化，对于改善快谱深穿透屏蔽计算的精度和效率具有重要意义。在 Winfrith Iron 基准题的计算中，探测器中子能谱和反应率计算结果的相对误差均与具有相近迭代次数的传统离散纵标输运计算结果一致，且计算效率明显优于传统方法，加速比达到了6.12 左右。数值结果表明，目标导向源迭代优化算法能有效控制屏蔽计算中的角度离散化误差，减小未知量的规模，有效提高了屏蔽计算的模拟效率，具有一定的工程应用前景。

参考文献

[1] Lathrop K D. Remedies for Ray Effects[J]. Nuclear Science and Engineering， 1971， 45（3）： 255-268.

[2] Lewis ， Miller W F， omputational ethods f eutron ransport[M]. ew ersey： ohn Wiley & Sons Inc， 1993.

[3] Williams M L. Generalized Contributon Response Theory[J]. Nuclear Science and Engineering. 1991， 108：（4） 355–383.

[4] Butler J， Carter M D， McCracken A K， et al. Results and calculational model of the Winfrith iron benchmark experiment， NEACRP-A-629[R]. Nuclear Energy Agency， 1984.

[5] Kim D H， Gil C S， Lee Y O. Validation of an ENDF/B-VII. 0-based neutron and photon shielding library in MATXS-format[J]. Journal of the Korean Physical Society， 2011， 59（2）： 1199-1202.