立体图形复习课错例分析与教学策略

小学数学圆柱表面积教学中，“算少底”和“算多底”为学生常见高发类型错例，学生的错误主要表现为将无盖水桶的底面积计算出2 倍或者多算了通风管的 2 个底面……在学生集中犯此错误的背后，说明学生对圆柱的空间结构的认知不够到位，也没有充分结合生活经验来理解。通过对这类错例进行探究分析，以期对后期针对此类问题的教学提供相应的反思建议。

一、圆柱表面积计算中底面积相关错例分类与正确解法

（一）“算多底”型错误

1. 无盖容器计算失误

（1）错例案例：忽略“无盖”的实际场景，用圆柱表面积公式 S=2πr²+2π rh，多算1 个底面积。

（2）正确解法：应利用 S=πr²+2π rh 计算。

2. 通风管表面积多算

（1）错例案例：误将空心管当作实心圆柱，利用 计算，多算2 个底面。

（2）正确解法：仅需算侧面积，即 S=2π rh。

（二）“算少底” 型错误

半圆柱表面积错算

1. 错例案例：漏算切面长方形，如错解 S=πr²+π rh。

2. 正确解法：还需计算切面长方形的面积，即 S=πr²+πrh+2rh 。

二、底面积计算错误的成因剖析

（一）空间认知：二维符号与三维结构脱节

1. 无盖容器计算错误成因：空间认知错误：学生对“圆柱由两个底面与一个侧面组成”的认知停留在公式记忆层面，缺乏三维表象支撑，缺乏将日常生活中的“水桶无盖”的转化为数学条件的能力，反映出生活经验与数学模型的割裂。

2. 通风管表面积多算成因：空间认知错误；学生不能将生活经验转化为数学条件，不理解“通风管”“管道”等两端贯通的特征，反映出“生活化问题数学化”的转化能力缺失。

3. 半圆柱表面积错算成因：空间认知错误；把半圆柱变成“半个完整圆柱”，没有看到半圆柱切面（长方形），是因为没有认识到将圆柱体沿中轴剖开后会产生新切面。

由此可见，学生把数学模型与实际场景割裂，对审题流程与结构分析缺失，缺乏“先辨场景—再定底面数量—最后套公式”的解题流程，体现元认知监控不足。

三、基于错例的分层教学策略

（一）三维建模策略：强化“底面数量—空间结构”关联

1. 可拆卸教具对比演示

（1）制作可拆卸的四种模型：完整圆柱，无盖圆柱，空心通风管，半圆柱。

（2）让学生亲手拆解模型，用不同颜色卡纸标注底面，并观察，记录不同立体圆柱的展开图。

① 完整圆柱：2 个圆 +1 个长方形② 无盖圆柱：1 个圆 +1 个长方形③ 通风管：0 个圆 +1 个长方形

④ 半圆柱：1 个圆（由两个半圆拼接） + 1 个长方形（侧面展开）+1 个长方形（切面）

通过可拆卸教具拆卸展开图，让学生清楚底面的数量与空间结构之间的对应关系，破除学生的二维符号记忆障碍，建立“完整圆柱 2底、无盖圆柱 1 底、通风管 0 底、半圆柱 1 底 +1 切面”的三维表象，从根本上解决学生由于空间认知出现缺陷而导致底面积多算或者少算的问题。

2. 虚实结合的展开图训练

（1）给出实物图（如无盖水杯），要求学生绘制展开图并标注“底面数量”，再写出表面积公式；

（2）提供错误展开图（如通风管带2 个底面），让学生修正并说明原因，如 “通风管两端贯通，没有底面”。

分析生活场景（无盖容器、通风管等），数出底面个数，开展“场景侦探”的推理活动。搭建生活经验和数学模型之间的桥梁，培养学生的数学推理能力和用“无盖”“贯通”等词语确定底面数量的能力，在学生整理判断出的生活场景中，降低底面积判断错误率。

（二）场景匹配策略：构建“生活问题—底面判定”规则

1. 生活场景分类清单

梳理常见圆柱应用场景的底面数量规则

2. 情境辨析任务

设计“场景侦探”活动，给出混淆场景：“树干要喷洒农药”“厨师的帽子”，让学生辩论底面数量；设计矛盾条件：“无盖水桶喷漆，需要双面喷”，引导学生灵活调整公式。

（三）流程规范策略

1. 建立“审题—标注—验算”解题链

（1）圈画场景关键词：用“ Δ ”标注“无盖”“通风管”“半圆柱”等影响底面数量的词；

（2）标注底面符号：在图形旁画“ ”表示底面，如无盖圆柱画“1 ○”，通风管画“0 ○”，半圆柱旁画“1 ○”和“1 □（切面）”

（3）公式验证：用“底面数量 × 底面积 + 侧面积”的结构检查公式。

2. 错例病历本制度要求学生建立“底面积错例档案”

格式如下：

通过对符号标示（圈画关键词，标明底面个数）和错例档案制度化，按“先辨场景—再定底面—最后套公式”步骤开展解题教学，学生结构化解题的习惯得以养成，半圆柱切面漏算等结构性错误大幅减少。

实践表明，“三维建模—场景匹配—流程规范”分层教学策略有利于培养学生准确计算圆柱底面积的能力。三维建模使学生有实际的表象可依，利于快速认知圆柱；场景匹配把知识与情境有效结合；流程规范让学生条理清晰地计算。由此得出的本策略和资源可以作为一线教师圆柱表面积复习教学的参考，也有利于提升学生的解题能力。

参考文献

[1] 刘佳华 . 几何图形教学中错例分析与教学改进 [J]. 数学教育研究，2023（09）：67-70.

[2] 鲍建生 . 中学几何教学研究 [M]. 华东师范大学出版社 ，2009：87-92.