平面向量基本定理

上课！同学们好！

同学们，向量是近代数学中重要和基础的概念之一，早在 19 世纪就已成为数学家和物理学家们的研究对象，大概在 20 世纪，英国数学家哈密顿首先将向量引入中学数学，自此向量正式走近我们的数学课堂，迄今已然成为了数学课程中的重要内容。这节课让我们继续学习第六章，6.3.1 平面向量的基本定理

小小竹排江中游，巍巍青山两岸走，5.1 假期老师和同事一起来到了风景如画的桂林漂流，这里的一山一水都是大自然的馈赠。同行的一位物理老师提出了这样一个问题，希望同学们能够帮助老师一起来解决。

用于漂流的竹排在正东方向水速和正北方向风速的作用下漂流（假设竹排不受其他因素影响，如何确定竹排的行使方向呢？）为了便于观察，我们以俯视的角度标出水速和风速，在物理中我们学过力，速度，位移等矢量的合成和分解，可以做出合速度，所以竹排行使的方向就是合速度的方向。

简化问题，问题 1:如果两个速度大小相同，竹排如何漂流？方向为东北方向。如果此时风速增大，水速变小，行驶就更加偏向北，反之更加偏向东。

通过这三种情况的对比，如果风速水速方向确定，通过速度大小的变化，可以实现竹排的行驶方向的变化！那么竹排的行驶方向是任意变化的吗？像速度这种既有大小又有方向的量就是我们数学中的向量，那这个问题就可以转化为一个数学问题。

问题 2:是否可以由这两个互相垂直的向量表示出平面内的任意向量。请各小组展开讨论。让老师来听一听第一小组的观点。需要老师固定住了平面内的 1 个任意向量a和两个互相垂直的向量e1e2，好的！那么向量a可以用他们表示出来吗？（如果同学们生在公元前，每个人都可能成为亚里士多德，早在公元前几百年，他就认为向量的“组合作用”可以通过平行四边形法则得到）由平行四边形法则我们知道，首先把这 3 个向量，平移到同一起点，过向量a的终点沿着两个方向做平行线，并延长e1e2， 向量OM，向量ON。就得到了封闭的平行四边形， 将向量a计算出来并且表示出来，即把几何语言转换成代数语言。通过向量的加法，得到了向量A的表示。那么向量a可以是平面内任意的向量吗？（下面几何画板进行动画演示）

答：不断地改变蓝不大的大小，a在不断转动，说明平面内的任一向量可以由e1e2

表示出来。

下面改变水速风速方向，想要驶向任意方向，能实现吗？

我们知道在现实生活中，风速和水速是不断变化的，不同的水速和风速依然可以让竹排驶向它，想要去的地方。回到数学中，问题就是，向量a固定，可以用不同于e1e2的两个向量表示向量A吗？固定一个向量a,用不同于e1e2 的向量来表示他，大家看，平面上出现了很多平行四边形，每一组平行四边形都对应着一组e,而此时向量a是这些平四共同的对角线。（结论e1e2 不唯一）

如果风速和水速可以平行，竹排还能驶向任意想到达的方向吗？

当风速水速都正东方向，那么竹排的行驶方向就是正东。

当风速水速方向相反时，谁的速度大，竹排的行驶方向就是哪边。

所以风速和水速平行，竹排只能在与水速和风速平行的方向上行驶

把这句话翻译过来（如果e1e2 共线，只能表示与之共线的向量a）竹排想在任意方向上行驶，e1e2 不共线。好，相信同学们已经感受到信息技术给数学研究带来的便捷。蓝 1 蓝 2 唯一吗?小组讨论（从代数和几何两个方面给出证明）

我们学习过的定理，能被称为基本定理的并不多，那么如何理解基本两个字呢？

平面内的任意一个向量都可以用这个向量表示出来，说明这个概念的统涉性很强，只要平面内基底确定了，就可以将无限的问题转化成有限的问题，

再思考平面向量基本定理与共线定理有什么样的区别和联系呢？

共线定理 1 为直线，平面向量基本定理 2 为平面，其实这就是一个从一维到二维的一个升华，而我们生活在一个三维空间当中，以后同学们还将继续学习三维空间向量，N维向量。例如，大家知道GPS是什么吗？BDS，

我国自主研发的北斗卫星导航系统，它基本原理就是，无论在任何时刻，在全球的任何位置，你都可以看见头上至少 4 颗我们的北斗卫星，通过信息传递和数学运算，就可以实现定位和导航的应用，那么这样的数学运算中有一个最基本的概念，就是我们今天所学习的向量。可见向量在科学领域的应用十分广泛。向量的世界魅力无穷。下节课我们再继续探讨与向量有关的内容。