运用联想思维，让数学教学充满活力

大学数学教学往往都是在数学中教数学，即使学生学会了知识、做会了习题，但放下书本仍感到数学与自己的现实生活没有太大关系。数学中的应用题是数学知识和理论在生产、生活实践中的应用，通过应用题可以使学生了解学习数学的意义和用途。但很多应用题与学生的日常生活无关，而且即使学生学会了数学知识在生产、生活实践中的应用，但给人一种很遥远的感觉，毕竟学生还没有开始工作，而且就算是工作了，也不一定在应用题所在的领域中工作，所以很多应用题学生都是被动的在做。但是如果运用联想思维，把应用题所在的领域和学生的现实生活之间做一下类比，那么就会让学生感到数学应用题和自己的生活是有关的，从而对调动学生学习的积极性起到事半功倍的效果。

本文中的联想思维是指通过联系实际与跨学科的方式，把数学应用题和学生的现实生活结合起来，让学生感受到数学就在自己的生活之中。例如在数学中最常见的数列 1/1，1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，……，这是一个逐渐收敛到0 的数列，求这个数列极限的过程很容易让人联想到中国古代诗词“孤帆远影碧空尽”所表达的意味。这就是最典型的联想思维方式的运用。这种思维方式不仅可以在数学和语文之间建立一座桥梁，它会把数学和很多领域的现象建立一种对应关系，从而达到殊途同归的效果。而且不止限于数学，很多领域运用联想思维都取得过成功，比如中国古人鲁班发明木工所用的锯子就有下面的传说：“在鲁班之前没有锯，木工都是用斧子砍木头。一天，鲁班到山上寻找木料，突然脚下一滑，他急忙伸手抓住路旁的一丛茅草。手被茅草划破了，渗出血来。“这不起眼的茅草怎么会这么锋利呢？”原来小草的叶子边缘上长着许多锋利的齿。他用这些密密的小齿在自己的手背上轻轻一划，居然又割开了一道口子。鲁班想到，如果也用带有许多小齿的工具来砍伐树木，不是很好吗？于是他请铁匠打制了几十根边缘带有锋利小齿的铁片，拿到山上做实验。果然，很快就把树木锯断了，这种新的砍树的工具就是我们今天所用的锯子”[参考文献 1]。这就是典型的联想思维的运用。下面以大学公共课《概率论与数理统计》中的应用题为例加以说明。

在《概率论与数理统计》讲义[参考文献 2]的“离散型随机变量”一节中，在讲到“二项分布”知识时，有这样一道例题：有 80 台相互独立工作的机床，每台每天最多只发生一次故障，且发生故障的概率均为 0.01 。设一台设备的故障由一名维护工处理。现在有两种设备维护方式：一个是4 人各自维护 20 台；二是由 3 人共同维护 80 台。问在设备发生故障时，哪种方式及时维修的可能性大。这道题经过计算得出的结果是：第一种方式 4 人各自维护 20 台，当设备发生故障及时维修的概率是0.9343，第二种方式3 人共同维护 80 台，当设备发生故障及时维修的概率是 0.9913（具体计算过程见文献 2） 这说明对于同一个问题，安排方式的不同结果差别很大。第二种方式只需要 3 个工人，反而比第一种方式4 个工人当设备发生故障及时维修的概率大。

如果某位学生长大以后当了某个工厂的领导，那么这道题对于如何安排工人工作提供了一个非常重要的智慧，所以这道题被很多版本的《概率论与数理统计》讲义选中作为例题。那么很多教师在教学中也就讲到了这里，学生听完之后会觉得这道题虽然有意义，但离自己的生活很远。毕竟工作以后不是每个人都能当领导，而且即使当了领导也是很遥远的事情，和自己现在的生活没有关系。但是如果运用联想思维，把这件事类比成背诵 80 个英文单词，那么有两种方式，一种方式是分 4 天，每天背诵20 个单词，背完了之后每一天的任务就完成了，不管今天的状态怎么样，每天的任务就是 20 个，不多背、也不少背。另一种方式是不限制每天背诵多少个，这 80 个单词是 3 天的共同任务，虽然平均下来每天要背 27 个，但如果今天的状态好，可以多背；如果今天的状态不好，可以少背。那么这道题的结论告诉我们第二种方式 80 个单词全部背下来的概率要比第一种方式大。而且第二种方式只需要 3 天，第一种方式需要的是 4 天。所以这道题不仅仅讲的是领导如何安排工人工作的问题，也是在教会学生如何合理的安排自己学习的问题。因为每个学生进入大学以后都要比高中有更多的自主时间，所以如何安排自己的学习是大学生每一天的现实生活。这道题清清楚楚的计算出了两种不同方式的概率。那么运用联想思维后，会让学生真真切切的感受到数学应用题的结论其实对自己的现实生活是有指导意义的，从而增加日后学习的主动性。

在《概率论与数理统计》讲义[参考文献 2]“事件的独立性”一节中还有这样一道例题：“甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 p ，设各局胜负相互独立，问什么赛制（三局两胜或五局三胜）对甲有利？”这道题最后的结论是：当 p<1/2 时三局两胜对甲有利；当 p>1/2 时五局三胜对甲有利。把这道题的结论联想到生活中的事情，它告诉了我们一个智慧：当甲胜的概率小于乙时，三局两胜对甲有利，因为见好就收，免得时间长了就露馅了；而当甲胜的概率大于乙时，五局三胜对甲有利，这时要进行持久战，因为短时间内谁都可能有个闪失；而且不仅是比赛，当我们和自己心中仰慕的同学交往时，往往希望给对方一个好的印象，来博得对方的好感。那这道题的结论告诉我们每一次交往时首先要观察对方的状态和自己当天的状态。如果自己当天的状态不如对方，就好比 p<1/2 ，那么就不适合交往时间过长，聊几句、把重要事情说完了就赶快离场、不宜久留。而如果对方的状态一般、自己则元气满满，就好比 p>1/2 ，那么就适合高谈阔论、秉烛夜谈，这样会给对方留下更多好的印象。所以当把数学应用题的结论加以联想，学生就会发现数学中的应用题真的应该认认真真的做，因为它的结论会指导我们的为人处世。

笔者除了反思数学教学之外，也和其他专业的教师进行过讨论，发现这种联想思维不仅在数学教学中起到很大的作用，在其他专业中也是如此。比如在物理中，阿基米德发现浮力原理的过程也是使用联想思维的一个成功的案例。笔者写出本文旨在抛砖引玉，希望在数学教学过程中，同行们能够充分运用联想思维，使得数学教学充满活力、使得学生学习数学有所收获。

参考文献：

[1]. 《数学文化》，顾沛，高等教育出版社，2008 年第 1 版

[2]. 《概率论与数理统计》，张薇，出版社，2010 年第 1 版