带余除法定理的改进

带余除法定理是基楚数论中的一条十分基础的定理，其应用范围广，但其内容可进一步改进，即可使其进一步精确化和明细化，那么其应用就会更广泛了。

证 因为a，b∈，则在1，2...a中被b整除的数的个数为，由于

b∤a，那么b<a<b（+1），于是必存在小于b的唯一正整数r使a=b[]+r.

推论5 若a，b∈，则存在大于b的唯一负整数r使a=b[]+r，这里b∤a.

证 同推论4

推论6 若a∈，b∈b∤a，则存在小于的唯一正整数r使a=|b|[]+r

证 同推论4

推论7  若a∈，b∈，b∤a，则存在大于-b的唯一负整数r使a=b[]+r

证 同推论4

定理2 若，均为真分数，

证 若结论不成立，则有三种情况：①=，而≠;②，而≠;③≠，

下只讨论第③种情况

=  ∴=                    ┅┅

若≠，则为非零整数，若0<<|b|，0<|b|，则

0≤||<|b|，由于，则0<||<|b|，那么=－必为真分数。则式不成立，那么＋≠＋，于是矛盾。若0>，0>，则->0，->0，由于，则0<--b=|b|，同理可得0<|-b|=|b|，那么0≤|-|<|b|，由于≠及 =  =，则得0<|-|<|b|，那么为真分数，即 = 为真分数。则式不成立，于是＋≠+，亦矛盾。若0>>0 则 - ==+=   ，∵≠， 则≠，那么据<0，0及||<|-b|与||<|-b|知  = - 必为真分数，则式不成立，即得+≠+，又矛盾。对于0与<0的情况可仿上证明之。

定理3若ϵZ，与均为真分数，又+=+，则，=

证 依题意可得，…余证同定理2

定理4 若a，b，q，r∈Z，b≠0，|r|<|b|，a=bq+r.则①a与b同正时，q=，

0≤ r<b，且r唯一。

②a与b同负时，q=b<r≤0，且r唯一。

③aϵ，bϵ时q=[]+r，0≤r<，且r唯一

④a∈，b∈时，q=，0≤r<|b|，且r唯一。

证 若bla，则r=0，即得结论，下只证b∤a的情况，且只证①。

因为a与b同正，则据定理1之推论4得a=b<<b，且唯一，即得=+                                      ……（1）

由于<，则为真分数，又因为a=bq+r，b≠0，则=q+       ……

于是由式及定理2得q=与，那么r=，由于唯一，则r唯一，这就证明了①

对②，③，④的证明可仿①。

推论① 若a，bϵ，则存在唯一一对整数与使a=b+

证 因为为a被b除后的最小非负剩余，于是可设a=bq+，由于a与b同正，则q=，那么a=b+

推论②若a，bϵ，则存在唯一一对整数+1与使a=b（+1）+

证∵A，Bϵ时，A=B，则-A=-B，由于a，bϵ，于是又设a=-A，b=-B，即得a=b，即得a=b =b＋+   证毕

推论③若aϵ，bϵ则存在唯一一对整数与使a=b+

证 同推论①

推论④  若aϵ，bϵ，则存在唯一一对整数与使a=b+

证同推论1

显然，上面定理4的4个推论即为改变的带余除法定理，同时不难看出，其较原来的定理更加精确与明细。

例1 设a=10，b=3，求带余除法定理a=bq＋r中的q与r

解∵a=10，b=3，∴a，bϵ，那么10=3［］+1，于是q=［］=3.r==1

例2设a=-10，b=-3，求带余除法定理a=bq＋r的q与r.

解∵a=-10，b=-3  ∴a，bϵ，那么10=-3+2，于是q=+1=4，r==2.

设a=10，b=-3，求带余除法定理a=bq+r中的q与r。

解 因为a=10，b=-3，所以a∈，b∈，那么10=-3（-）+1，于是q=-3=9，r==1

例4设a=-10，b=3，求带余除法定理a=bq+r中的q与r

解∵a= -10，∴a∈，b=3，∴b∈，那么-10=3+2，于是q=-3，r==2

从上不难看出求带余除法定理a=bq＋r的q与r是件容易之事，只要用一步除法运算就可求出q，然后用一部减法运算再求出相应的r。同时也易知要用计算机运算就可求出相当大的q与相应的r。另外我们还可以得到一个例外不等式，当a，b∈Z，b≠0时，a≥b且bla时成立等号，b∤a时成立大于号。

自然地，带余除法定理应如下描述

若a，bϵZ，b≠0，则a，bϵ时，则存在唯一 一对整数与使a=b+；a，bϵ时，则存在唯一 一对整数+1与使a=b+;a∈，bϵ时，存在唯一 一对整数与a=b；aϵ，bϵ时，存在唯一 一对整数-与使a=b+

这样描述的话，就一目了然干净利落了。

参考文献

[1]潘承洞 潘承彪 初等数论[M]北京大学出版社  2020年八月第十二次印刷 P22

作者简介 梁自温 男 1945年2月出生 湖南洞口县人 原湖南中医学院医疗本科毕业。长期学习数学知识，已发表论文40多篇。研究方向为数论，电话15073902153，18373980584