配速法和洛伦兹力冲量法在高中物理复合场问题中的应用

一、引言

配速法的核心思想在于合理地分配速度，以适应不同运动状态的过程。通过将速度进行适当的组合和匹配，我们可以将复杂的运动过程分解为若干个简单的部分，从而更方便的解决问题。

洛伦兹力冲量法，不必对轨迹进行精确描绘，通过动量定理即可建立速度与位移的关系。

二、原理

配速法在复合场问题中的应用主要是为了解决带电粒子在含磁场的复合场中做复杂的曲线运动的问题。例如若带电粒子在磁场中所受除洛伦兹力外的合外力不为零时，粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，粒子做一般曲线运动，运动比较复杂。此时，我们可以利用配速法，把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力、或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，即沿某一方向的匀速直线运动和沿某一方向的匀速圆周运动的合运动。这实际上借助等效原理和运动的合成与分解原理，在全新的数理模型基础上简化了问题。

洛伦兹力冲量法的基本原理：在 x 轴方向上，带电粒子在 Δt 内速度变化量为 Δν_x ，根据左手定则， x 轴方向的洛伦兹力只与y 轴方向的速度 u_y 有关，由动量定理得 qν_yBΔt=mΔν_x ，两边求和可得 qBy=mν_x-mν_x0 。在 y 轴方向上，同理可得 qBx=mν_y-mν_y0 。

三、应用

类型一：洛伦兹力与重力共存类问题

（2023. 济南历城二中高考模拟，17）在竖直平 B 面内建立如图所示的直角坐标系 xOy ，第一、二象限内有水平向左、大小相等的匀强电场，第三、四象限内有磁感应强度大小为 B 、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，在 y 轴的某个适当的位置放置有水平绝缘光滑的小支架，支架上静止放置一质量为 ∇m 、不带电的金属小球 Δ_a ，另一与小球 a 一样大、质量为 、带电量为 q 的金属小球 b 从 x 轴的某点，垂直于 x 轴以速度 u_ρ 竖直向上射入第一象限，运动一段时间后以速度 u_ρ 沿 x 轴负方向与小球 Δ_a 发生弹性碰撞且电量发生转移，过了一段时间小球 a 从 x 轴上的某点进入第三象限，不计两球间的库仑力及空气阻力，重力加速度大小为 g_c 。

（1）求小球 a 从 x 轴上某点进入磁场时的该点的位置坐标；

（2）若 = 3qmvg ，求小球 a 第一次在磁场中运动离 x 轴的最远距离 hm 和最大速度 u_m∘ 。

【分析解答】（1）小球b 从进入电场到与小球a 碰撞这一过程，水平方向上做匀加速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动，故在竖直方向有 0=ν₀-gt_l ，设电场强度为E，在水平上有

小球b 与小球a 发生弹性碰撞有

因为两球碰撞，根据接触起电的电荷分配规律，小球 a 带电量为 ，小球 b 带电量为 。小球 a 在第二象限竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀加速直线运动，根据运动的对称性可知，小球 a 在到达 x 轴负半轴所用时间与小球 b 从进入电场到与小球 a 相碰时间相同，即时间为 t₁ 。竖直方向上的速度也为 u_θ ，在水平方向有 u_αα=ν_a+a₂t₁ 解得， 所以其进入磁场的坐标为 0）。

（2）【配速法】由上一问分析可知小球 a 竖直方向速度为 u_θ( （方向水平向下），水平方向速度为 （方向水平向左）。小球 a 进入磁场时，受到洛伦兹力以及重力，将小球 a 的速度分解为水平向右的大小为 u_x 的速度和方向与 x 轴负半轴成 θ 角，大小为 ，其中有 ，解得， ， 即粒子在磁场的运动可分解为水平 x 的匀速圆周运动，有 解得， 由几何关系可知，小球第一次在磁场中运动离 x 轴最远距离为 ，此时小球 a 的速度最大，为vm = v1 + vx

【洛伦兹力冲量法】由上一问分析可知小球 Ψ_a 竖直方向速度为 u_o （方向水平向下），水平方向速度为 （方向水平向左）。分析题意可得，在 x 轴方向上，对顶向右为正方向，由洛伦兹力冲量法和动能定理得

联立得

【难点突破】

当洛伦兹力与重力并存，即研究粒子在磁场和重力场中运动的问题时，运用速度的合成和分解，构造一个洛伦兹力 qν_xB 与重力等大反向，剩余的速度 u₁ 在磁场中受洛伦兹力 qν₁B , 做匀速圆周运动。即粒子在磁场和重力场中运动，运用“配速法”思想，构造洛伦兹力与重力等大反向，解决相关的物理问题。同时还可以在 y 轴方向上巧妙运用洛伦兹力冲量法，运用动量定理和动能定理解决速度位移类问题。

类型二：洛伦兹力与电场力共存类问题

（2024. 山东普通高中学业水平等级考试，18）如图所示，在 oxy 坐标系x>0 ， y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场。磁场中放置一长度为 L 的挡板，其两端分别位于 轴上 M、N 两点， ∠ OMN=60°，挡板上有一小孔K 位于MN 中点。 Δ OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于 Δy 轴左侧的粒子发生器在 的范围内可以产生质量为 ∇m ，电荷量为 +q 的无初速度的粒子。粒子发生器与 Δy 轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。

（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压 U₀ ；

（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔 K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；

（3）当加速电压为 时，求粒子从小孔 K 射出后，运动过程中距离 Δy 轴最近位置的坐标。

【分析解答】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K 的运动轨迹如图所示

根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在 ∆OMN 区域根据洛伦兹力提供向心力有 ，在匀强加速电场中由动能定理有 1 mv2 ，联立解得U0 = qB L2 。

（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K 射出的运动轨迹如图所示

根 据 几 何 关 系 可 知 粒 子 在 磁 场 中 做 圆 周 运 动 的 轨 迹 半 径 为 ，在 ∆OMN 区域根据洛伦兹力提供向心力有 粒子从小孔 K 射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔 K 后受到的洛伦兹力沿 Δ_X 轴负方向，则粒子经过小孔K 后受到的电场力沿 Φ_X 轴正方向，粒子带正电，则 ΔOMN 之外第一象限区域电场强度的方向沿 x 轴正方向，大小满足 qν^′B=Eq ，联立可得E = qB L 。

（3）【配速法】在匀强加速电场中由动能定理有 ，可得 = 3qBL ，在 ∆OMN 区域根据洛伦兹力提供向心力有qv ′B = m ′ 2可得粒子在 ΔOMN 区域运动的轨迹半径 ，作出从小孔K 射出的粒子的运动轨迹如图所示

设粒子从小孔 K 射出的速度方向与 x 轴正方向夹角为 θ，根据几何关系可知 ，则粒子从小孔 K 射出的速度方向与 x 轴正方向的夹角为 60^∘ ，该速度沿 x 轴和 y 轴正方向的分速度大小为 = 3qBL，则粒子从 K 射出后的运动可分解为沿 y 轴正方向的匀速直线运动和速度大小为 的匀速圆周运动，可知qvx′′B = m x′′ ， 解得 ，粒子做圆周运动的周期为 qB ，粒子至少运动 距离 y 轴最近，加上整周期则粒子运动 时距离 y 轴最近，则最近位置的横坐标为 纵坐标为 (n=0,1,2⋯)

综上所述，最近的位置坐标

【洛伦兹力冲量法】

本题中，静电力在 x 轴方向上，在 y 轴方向上由洛伦兹力冲量法得qBx=mΔν_y ，根据配速法的分析，在距离 y 轴最近位置时，离子的速度为u_y^"-ν_x^" ，由洛伦兹力冲量法可得 ，解得 ，则 x 方向坐标

到 达 轨 迹 最 左 端 时， 在 x 轴 方 向 上 由 洛 伦 兹 力 冲 量 法 得0-mv_x^*=qEt-qBΔy (n=0,1,2⋯) 解 得 (n=0,1,2⋯) ，所以 y 方向坐标 ，即

综上所述，最近的位置坐标

【难点突破】

当洛伦兹力与电场力并存，即研究粒子在磁场和电场中运动的问题时，运用速度的合成和分解，构造一个洛伦兹力 qν_y^"B 与电场力等大反向，剩余的速度 u_x^" 在磁场中受洛伦兹力 q^ν_y^"B , 做匀速圆周运动。即粒子在磁场和电场中运动，运用“配速法”思想，构造洛伦兹力与电场力等大反向，解决相关的物理问题。同时还可以在 x 轴方向上和 y 轴方向上巧妙运用洛伦兹力冲量法，运用动量定理解决速度位移类问题。

【拓展延伸】

当洛伦兹力与