AI 视角下的贝叶斯公式教学

引言：

这个世界是数据智能决策的世界，贝叶斯定理已经不再是书中的一个数学等式，它是机器学习、自然语言理解、自动驾驶等人工智能学科的基础，“用证据更新信仰”的思想就是数学“智能”的缩影。在高中数学课堂中加入 AI的视角，把数学课变成探索 AI 的奇闻轶事，是高中数学课的一次颠覆，也是把数学当成基础课的全新感受。

一、AI 视角下的贝叶斯公式教学规划

（一）教材分析

贝叶斯公式通常编在人教版高中数学“条件概率与独立性”这一节中，文本一般的呈现逻辑是：条件概率定义复习→交事件概率的乘法公式引出→全概率公式推导→贝叶斯公式推导→配简单疾病诊断、抽签问题等。这一逻辑简单明了，数学味儿浓，但应用例子的确有些老套，和学生现代生活、科技知识有一定距离。AI 视角的注入是对文本逻辑的“赋能”“升格”[1]。

（二）教学目标和重难点分析

因此，基于 AI 的这节课，其教学目标定位理应在传统知识技能基础上再丰富、再提升。

知识与技能目标：掌握利用贝叶斯公式计算问题的方法；学会运用全概率公式与贝叶斯公式解决实际问题。

过程与方法目标 ： 体验由具体 A I 实例抽象出数学模型，感悟贝叶斯公式在“信息更新”与“决策优化”方面的作用；培养数学建模与数据分析能力 [2]。

情感、态度、价值观目标： 感受数学作为人工智能等先进学科的基础科学，激发数学和计算机科学的兴趣; 初步建立科学的宇宙观和证据修正观念。

教学重点：贝叶斯公式的推导及其“逆概率”问题的思想。

教学难点：理解先验概率、后验概率等概念；从实际生活中的“信息更新”问题，引入一个贝叶斯概率。

（三）AI 视角下的贝叶斯公式教学策略

该节课的教学设计将按照情境导入—探究析理—公式建立—AI 应用—总结升华的脉络进行。

1. 情境导入：从“智能过滤”设疑，激发认知冲突

课堂导入，教师不急于直入主题，而是先给学生呈现这样一个似曾相识又完全不同的问题：“同学们，我们电子邮箱每天都会收到大量的邮件，这些邮件多数是以垃圾邮件的形式存在的，请同学们回答一个问题，邮箱系统是如何像一个智能秘书一样，能够从一大堆邮件中将垃圾邮件自动地筛选到垃圾箱中去的？它智能在哪儿呢？”这是一个源于学生生活，却又直指 AI 应用，能迅速引起学生注意力的问题，学生可能会给出“关键字检索”“机器学习”等泛泛的答案。教师顺势引导：“同学们的回答都说得非常非常好，但是我们想揭示的是它背后最本质的那层数学，是一个叫做‘贝叶斯公式’的数学定理，它决定了机器这样的‘智能地用概率做判断’的能力。”

2. 探究析理：构建简化模型，化解抽象难题教师引导学生将复杂的垃圾邮件过滤问题简化、数学化。

步骤一：定义事件令事件 A ：一封邮件是垃圾邮件，事件 B ：一封邮件有“发票”。

步骤二：已知条件。我们根据以前收到的邮件统计，可以得到：垃圾邮件占所有邮件的比率为 P（A） ；垃圾邮件中含有“发票”一词的比率 P（B|A） ；正常邮件中含有“发票”一词的比率P（B|）。

步骤三：提出问题。现在，我们收到一封新邮件，里面包含了“发票”这个词。我们最关心的问题是：这封邮件是垃圾邮件的概率有多大？即求P（A|B）。

至此，我们完成了完整的“执果索因”的贝叶斯问题建模，学生已经非常清楚地看到，AI 判断，就是当新的证据（B）出现后对于先验的信念（A）的概率）的一次更新。

3. 公式构建：类比推导，突破数学形式教师请学生回顾条件概率的定义： 。

其中，分子 P（AB）=P（A）P（B∣A） ；分母 P（B） 是“邮件中出现‘发票’这个词”的总概率，这一事件的发生有两种可能： ① 邮件是垃圾邮件且出现“发票”； ② 邮件是正常邮件且出现“发票”。这正好符合全概率公式的应用场景： ）

将分子分母代入，即可得到贝叶斯公式：P（A|B）= 这一推导过程水到渠成。教师强调公式中各部分的实际意义：先验概率 。

4. AI 应用：代入数据，见证“智能”诞生

教师提供假设数据，由学生进行计算，让学生亲眼见证数学的“智能”出现。

假设：P ⋅（A）=0.3 （ 30% 的邮件是垃圾邮件）， P（B∣A）=0.8 （垃圾邮件中 80% 会出现“发票”），P（B| ）=0.05（正常邮件中仅5% 会出现“发票”）

提问：一封含有“发票”的邮件是垃圾邮件的概率是多少？

学生通过计算得出 P（A ∣ B） ≈0 .873 计算结果意味着，当“发票”这个词条出现时，垃圾邮件的机率从原来的 30% 陡然上升到 87.3% ！机器正是依据这个概率的数值而做出了“判为垃圾邮件”的睿智选择。

教师接着说：“真正AI 垃圾邮件过滤器，它考虑了成千上万个单词（ 属性），构造了一个大规模的贝叶斯模型，整合了所有证据，来做决策。但是它的最高深也是最朴素的思想，也就是我们刚才推导并应用的贝叶斯公式。”这个解释，让学生对高大上的AI 有了一种“原来如此”的直观认识。

结束语：AI 思维渗透贝叶斯公式教学，不仅仅是“贴标签”“举例子”而已，更是一次教学思想的革命，是数学与高新技术的衔接，是课堂教学从“教书育人”到“育人育人”的转变，是“解题”到“育人”的转变，是教会学生一个公式、种下一颗种子的过程，是用数学改变世界的种子，是立德树人、核心素养的根本目的。

参考文献：

[1] 陈晓静 . 基于 CTI 教学模式的公式教学实践探索——以“贝叶斯公式”为例 [J]. 中国数学教育 ，2025，（12）：25-30.

[2] 张琦 . 谈贝叶斯公式及其应用 [J]. 数学通报 ，2024，63（08）：23-28.