探秘百数图：基于学生思维痕迹分析促进深度学习的实践

一、背景分析

百数图作为小学数学经典教具，将 1-100 的数字按行列有序排列，直观呈现数的位置关系与规律 ，在10×10 的表格中，百数表把十进制系统的规律性用空间形式表达出来，用“位置”表示了“位值”。

传统教学中，教师常通过百数图引导学生观察横向、纵向、斜向的数序变化，帮助学生理解 100 以内数的顺序、大小及位值概念。然而，这种“规律发现式”教学往往停留在知识表层，学生的思维参与度不足，难以实现深度学习。

深度学习强调学习者在复杂情境中通过高阶思维解决问题，其核心是知识的深度理解与迁移应用。本文立足《溯源致思：小学生思维痕迹捕捉的探索》课题，以百数图为载体，设计层层递进的任务链，通过观察学生在任务解决中的语言、图文表达及操作行为，捕捉其思维轨迹，在百数图中的奇异世界教学中促进知识的联系与生长。

二、案例过程

（一）情境导入：探秘百数图的“移动密码”

教师呈现完整百数图，引导学生观察数与数的位置关系：“向左移动一格，数字会发生什么变化？向右、向上、向下呢？”学生通过操作学具、口头表述等方式总结规律：向左-1，向右+1，向上 -10，向下+10。这一环节帮助学生建立数的位置变化与位值增减的直接关联，为后续任务奠定基础。

（二）任务一：二连方“立”与“躺”

教师口头描述：“有一个二连方，其中一个数是 23，另一个数是多少？这个二连方是立着还是躺着？想一想、画一画、写一下。”学生作品整体呈现如下：

学生通过不同的路径解决问题：

位值推理法：学生根据上一环节建立的位值与位置概念关系，若另一个数在23 右侧（躺），则个位增加1，即24 ；若在左侧，则个位减少1，即22 ；若在上或下方（立），则十位变化，即13 或33。

空间想象法：部分学生在脑海中构建百数图，通过上下左右移动确定另一个数的位置。例如，若二连方立着，则另一个数可能是 23+10=33 或 23-10=13 ；若躺着，则可能是 23+1=24 或 23-1=22。

教师进一步追问：“如果将 4 种可能的二连方平移重叠，你发现了什么？”学生通过操作学具发现，无论二连方如何移动，通过交替重叠成十字状。其覆盖的两个数始终满足“横向差 1，纵向差 10^′′ 的规律，深化了对数位关系的理解。

教师组织学生互评，分析不同方案的特点，引导学生总结五连方的共同规律：无论形状如何变化，相邻数之间始终保持±1 或±10 的关系。（三）任务三：三连方“填数挑战”

师：你晋级了，二连方变成了三连方，你的三连方是怎样的？三连方中一个数是23，另外两个数分别是几？学生的作品从最简单的直条状，

到后来的三连方的7 字状。

表现出三种典型思维：

1. 分步计算法：从已知数出发，逐步推算相邻数。例如，若三连方为横向排列，则另两个数为 22 和24 ；若为纵向，则为 13 和 33。

2. 位值分解法：将23 分解为2 个十和3 个一，根据移动方向调整十位或个位。例如，向上移动一格 （+ 位减1）得到13，向下移动一格（十位加1）得到33。

3. 空间路径法：通过描述移动路径确定位置。例如，“从 23 向左移动一格到 22，再向上移动一格到13”，形成“L”形三连方。

三连方在变化，平移，旋转，图形翻转；在求另两个数时，计算步骤和方法上都有所不同，一步加减，连加连减，加减混合。

不变的是：根据学生的呈现的思维痕迹，共同指向学生对位置和位值的掌握；同时在横向直条与纵向直条位置和位值的增减关系，我们拓展到斜向两数的关系。把横行与纵列两个规律结合起来，可以分析推理斜向的规律。捺向发现：+1+10=+11、+10+1=+11 ；撇向发现 -1+10=+9、+10-1=+9。

教师引导学生对比不同方法，发现位值分解法在复杂排列（如斜向三连方）中更具普适性，帮助学生拓展建立“位置- 数值”的对应模型。

任务四：四连方“大小之争”师：a 和b 哪个大？哪个小？师：c 和d 大小相等吗？

在答案唯一的情况下，解决问题的途径却是“八仙过海各显神通”的。结合学生的语言表述、图文呈现，我发现有的学生直觉判断，有的运算推理，有的学生运用图形平移数的重合，有的运用未知数与已知数大小关系传递性论证。

学生根据数的位置关系构建算式，实施加减10 与加减 1 的运算，有助于建立十进制结构的思维；学生利用图形平移与数的重合，有助于空间观念和位置、位值的强化；学生利用未知数与已知数大小关系传递性论证，有利于计算、分析、推理，更是发展代数思维。有的学生进一步发现，Z 形四连方的对角线位置满足 ⁴a-b =22^′′ 的规律，体现了从具体到抽象的思维进阶。

任务五：五连方“创意拼图”

教师鼓励学生自主设计五连方，并说明排列规律。学生呈现多种创意方案：直线型：横向或纵向连续排列五个数。

十字型：以某数为中心，向上下左右延伸。

阶梯型：通过交替横向和纵向移动形成阶梯状。

教师组织学生互评，分析不同方案的特点，引导学生总结五连方的共同规律：无论形状如何变化，相邻数之间始终保持±1 或±10 的关系，斜向始终保持±11 或±9 的关系。教师追问：36、46、47 可以填入下面哪些五连方呢？

学生根据自身优势，能找对相应的五连方，教师追问怎么想的？学生有不同的思考方法。教师引导结合数据特征，计算数值关系，确立位置关系，找到关键模型。在综合与创新，运用学习的积累的经验，发现和提出问题，分析与解决问题。在逆向思考中让知识落地，让数学模型生根，让在思维进阶。

三、案例思考

（一）思维特征：从具象到抽象的进阶

1. 位值推理的深化

学生在解决二连方、三连方时，从最初的“逐格移动计算”逐步发展为“十位与个位的独立调整”。例如，在确定 23 的上下方数时，学生能直接通过十位的增减（23±10）得出结果，而非逐个数数，体现了对位置的感知、对位值概念的内化。

2. 空间想象的拓展

Z 形四连方和五连方任务中，学生需在脑海中构建三维空间路径，例如从74 出发先向上再向左，或设计阶梯型五连方。这种空间推理能力不仅是数学核心素养的重要组成部分，也为后续几何学习奠定基础。

3. 代数思维的孕育

Z 形四连方论证 c 和 d 是否相等时，需要学生构建 74 和 c，74 和 d 的关系，再利用未知数与已知数 74 大小关系传递性得出 c 和 d 是否相等的结论。这个过程体现了从具象到表象到抽象的发展，是逐步实现算术思维到代数思维的过渡。

4. 策略迁移的萌芽

学生在完成三连方后，能将位值分解法迁移至四连方、五连方的解决中，例如通过“十位 ±1，个位±1^′′ 快速确定斜向位置的数值。这种策略迁移能力是深度学习的关键标志。

（二）教学启示：思维痕迹捕捉的三

1. 观察记录：让思维可视化

教师通过课堂观察表记录学生的语言表达、操作行为及作品特征。例如，在二连方任务中，记录学生使用“左边”“上面”等方位词的准确性，以及是否通过画图辅助思考。

学生的书面作品（如百数图填空、移动路径图）是思维的外显载体。例如，分析三连方填空时的不同标注方式，可判断学生是依赖逐格计算还是位值推理。

3. 对话追问：促进思维进阶

在学生回答后，教师通过追问“你是怎么想到的？”“还有其他方法吗？ 引导学生反思思维过程。例如，当学生用分步计算法解决三连方时，教师追问：“如果三连方是斜着的，这种方法还适用吗？”促使学生探索更普适的策略。

四、实践反思

（一）百数图：从工具到思维生长的载体

传统教学中，百数图常被视为数序记忆工具，而本案例表明，通过任务设计，百数图可成为激发高阶思维的“思维运动场”。例如，五连方的创意设计让学生从“规律的被动接受者”转变为“规律的主动创造者”，实现了从知识习得向知识创造的跨越。

（二）思维痕迹捕捉：深度学习的关键支点

学生的思维痕迹不仅是学习过程的记录，更是教学决策的依据。通过分析学生在任务中的错误（如 Z 形四连方中混淆十位与个位的变化），教师可精准定位认知难点，调整教学策略。例如，针对位值推理困难的学生，可增加“十位/ 个位分离移动”的专项练习。

（三）挑战与改进方向

1. 任务开放性与结构性的平

五连方设计虽激发了学生的创造力，但部分学生因缺乏明确指导而陷入无序尝试。未来需探索“半开放任务”，如给定起始数和部分路径，引导学生在结构化框架内创新。

可引入数字化百数图（如 GeoGebra），让学生通过拖拽、标注等操作实时呈现思维过程，并利用数据分析功能自动生成思维轨迹报告，提升捕捉的精准性与效率。

3. 跨学科联系的拓展

将百数图与几何图形、逻辑推理等内容结合，例如设计“数阵图中的规律”“百数图密码破译”等跨学科任务，进一步拓展学生的思维边界。

百数图教学不应止步于数序记忆，而应成为学生数学思维生长的沃土。通过设计挑战性任务、捕捉多元思维痕迹，教师能引导学生在数的位置关系中发现数学规律，在问题解决中发展高阶思维。正如陈静静所言，深度学习是“思维不断深化的过程”， 而百数图中的奇思妙想，正是这一过程的生动写照。未来，我们将继续探索思维痕迹捕捉的有效策略，让数学学习真正成为学生思维拔节生长的旅程。

参考文献：

[1] 陈静静 . 深度学习发生的条件与机制 [J]. 江苏智慧教育云平台 ， 2023（12）： 1-10.

[2] 百数表 （ 小学一年级数学教材中的表格 ）[EB/OL]. 抖音百科 ， 2025-07-2

[3] 新实践 ！ 让数学思维在课堂生根发芽 [EB/OL]. 大众网 ， 2025-05-16.

[4] 崔允漷 . 课堂观察评价表 （4 个维度、20 个视角、68 个观察点 ）[J]. 光明社教育家 ， 2024（06）： 37-68.

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本文系台州市教育科学研究，2024 年度课题“溯源致思：小学生数学思维痕迹捕捉的探索”（课题批准号为：TZJYGH061 的研究成果）