关注学生立场 把握度量本质

在小学阶段，有关平面图形面积计算的相关知识，不同的教材对于内容的安排基本一致，主要有：面积和面积单位、进率；平行四边形、三角形、梯形的面积；组合图形的面积和圆的面积。对于这些知识，一般我们将其纳入图形与几何的领域。笔者认为：有关平面图形面积的计算，其核心是对面积的度量。把这一部分内容，纳人“量与计量”这一领域，更符合对其本质地理解。

一、面积的归属，要把握：度量的本质

度量，是指用以计量物品的一些物理属性。从小学阶段学生数学学习的发展来看，首先度量的是物体的长度。学生对于这部分知识的学习，包括度量标准统一的必要性，长度单位标准的确定和度量长度的一般方法：其次是时间、人民币、质量等的度量。这些属性的度量对于学生而言，有点“虚化”。比如质量，不仅是学生，哪怕是成人，对于“有多重”的判断也往往存在较大的偏差。因此，即便是规定了“克”和“千克”这样的质量单位，学生对于质量的表征还是不够精确的。对于面积的这部分内容，学生的度量经验来自于对长度的度量。长度是一段一段的量，而面积是一块一块的量，它们本质上的操作是相同的，只是标准不同；长方形和正方形的面积度量，是数出有几个标准的面积单位；平行四边形、三角形和梯形的面积，是需要先把不完整的面积单位规整后再计数；圆的面积是在无法规整面积单位的基础上运用极限思想度量。因此，把平面图形面积计算的内容，纳入“量与计量”的领域，知识间的结构更清晰，本质更明朗，学生对于“面积”的理解也将更深刻。

二、面积的计算，要追求：面积单位的延伸

（一）平行四边形、三角形、梯形的面积计算

对于这三个平面图形面积计算的教学，以往的教学过于注重转化，忽视了度量的本质。学生的关注点往往聚焦的是这几个图形面积计算公式的由来，教师的教学千方百计地引导学生如何利用“已学过图形的面积计算”迁移到“将要学习的新的图形的面积计算”上来。这样教学的一个直接弊端就是：学生为了结果而学，忽视“转化”内在的原因。对于计算公式求解平面图形面积的运用可能是娴熟的，但背后的原因是不明白的。如果把这三个图形的面积计算，立足在“度量”的角度，那么学生对于面积的计算将更深刻，更加趋于本质地理解。

在方格纸中直接出示这三个图形：

1. 试一试：求出这三个图形的面积？

2. 暴露问题：你们遇到的困难是什么？

学生：这些图形的某些部分不是完整的一个方格（面积单位），没办法数出来。

3. 交流：怎么办？

4. 求同：实质是只做了一件事：把不完整的方格一个一个拼成完整的方格，然后数一数。

5. 结论：相同点是都在想办法把不完整的方格拼成完整的：不同点是刚才这位同学是一个一个地拼，这个图形是把一部分图形整个拼成完整的，更简单了。

对于平行四边形、三角形和梯形的面积计算，从度量的角度去分析，本质是一样的，都是对面积单位的规整。教学时，需要让学生经历一个单位的规整。一个单位的规整能完成，可以计数，度量的目的也就达到了。

（二）圆的面积

圆的面积计算，从本质上讲，与学生前期所学的平面图形面积的计算是一样的，只是它是曲线图形，不能准确地数出有几个标准的面积单位，需要用极限的思想让学生明确：越来越接近的最终趋向就是相同。这对于学生来讲，存在一定的困难，教学时主要是让学生逐步有这样的感悟即可。在圆的面积的教学中，要让学生用度量的方式去思考，需要解决两个问题：单位规整是不行的，需要用图形规整的办法，如何让学生在利用图形规整时想到从半径切开这是个难点；另外，当沿着半径切开后，又该如何割补，也是教学时需要突破的地方。为此，要解决这两个问题，对于圆的认识，需要学生从本质上去理解：圆区别于其他平面图形，最本质的在于：半径。圆的认识，主要是认识半径。在这样的教学中，学生对于圆的本质有了充分地了解，在此基础上，对于圆的面积的度量，学生就有了必要的知识储备。教学时，只需要设置合理的大任务驱动，让学生自主思考，展示交流就可以：

给出一个圆。

提问：要知道这个圆的面积，你有什么好办法？

生 1 ：画上小正方形，先数一数完整的小正方形的个数，再把其中不完整的小正方形拼成完整的。

生2 ：这样不行，不完整的有一条边是曲线，它们拼不成完整的小正方形。

生 3 ：我也觉得是这样，一个一个地肯定拼不成完整的正方形，我想用割补的方法来试试。

生 4 ：我也觉得一个一个地肯定拼不成完整的小正方形，只能一部分一部分来试试。

结论：单位规整行不通，需要从图形规整的角度去思考。

任务：想一想该从哪里去“割”？又该怎么“补”？自己试一试。

反馈：沿着直径把圆分成两半，然后重叠后沿着半径割开，补在一起，形成一个类似的长方形。

让学生明确在度量圆的面积时，用单位规整的方法不可行，尝试用图形规整的方式去解决。在教师给出任务后，学生主动去摸索，可能会找到最终的解决策略，也可能还是找不到办法，至于结果并不重要。在学生多次碰壁的探索中，其实就是对圆的面积进行度量的一个思考。最终规整的方法可以借助学生的交流，也可以通过阅读书本等方式加以理解。而至于极限思想的运用，仅仅依靠这样一堂课的教学，显然是达不到目的的，需要在后续的数学学习中加以跟进与体会。

从更广义地角度看物体属性的表征，其实就是用数来进行精确刻画。精确刻画的基础就是标准的确定。一旦确定了标准，只要进行测量就可以表征物体的属性。从本质上讲，测量的工具都是尺，长度是最基础的；面积也是，只是因为它是二维的，测量两次后相乘就是面积；体积亦然，测量三次再相乘即可；质量也是，秤就是另一种形式的“尺”；时间也是，钟、表都是“尺”；测量温度的温度计也是“尺”。所以，物体属性的表征，思维方式上是统一的：先定标准，再赋值；测量工具也是统一的：尺。明确了这一点，不仅仅是面积的表征，任何生活中物体属性的表征，均可以用这样的思维方式，这样的工具去度量。

参考文献：

[1] 俞正强．种子课 - 一个数学特级教师的思与行 [M]．教育科学出版社，2023 ；

[2] 曹培英．跨越断层，走出误区 -“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M]．上海：上海教育出版社，2021 ；

[3] 刘延革．抓住度量本质，串联面积教学一一图形的面积教学实践与思考[J]．小学数学教师，2020．（5）： 36～39